Министерство образования и науки Российской Федерации 
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
«Забайкальский государственный университет» 

Т.С. ЛЫСИКОВА

Теоретические основы и технологии начального математического образования

Учебно-методическое пособие 

Чита 
ЗабГУ 
2014 

УДК 378.147.88
ББК 74.262.21

Печатается по решению Ученого совета 
Забайкальского государственного университета 

Ответственный за выпуск 
С. Е. Старостина, д-р пед. наук, доцент, проректор по учебной работе (гум.-пед. направление) ЗабГУ

Рецензенты: 
О.И. Казанова, ст. методист факультета дошкольного и начального образования ГБОУ ДПО «Забайкальский краевой институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки работников образования».
О.И. Скорнякова, почетный работник общего образования РФ, учитель начальных классов МБОУ «СОШ № 19»

	Теоретические основы и технологии начального математического образования: учебно-методическое пособие / Забайкал. гос. ун-т; сост. Т.С. Лысикова. – Чита: ЗабГУ, 2014. – 		с. 
ISBN 978-5-9293-0909-0 
	В пособии представлены материалы для самостоятельной подготовки студентов-бакалавров, обучающихся по направлению «Педагогическое образование» профиля «Начальное образование» к практическим занятиям по дисциплине «Теоретические основы и технологии начального математического образования», указаны требования к уровню подготовки студента по данной дисциплине, дано тематическое планирование занятий.
	В пособии изложены требования по подготовке и написанию курсовой работы по дисциплине, методические рекомендации по выполнению отдельных заданий.
	Пособие может быть полезно как студентам-бакалаврам, так и студентам заочной формы обучения по направлению «Педагогическое образование» профиля «Начальное образование», а так же педагогам-практикам, работающим в начальной школе.
УДК 37.075
ББК 74.2

ISBN 978-5-9293-0909-0 						ЗабГУ, 2013 
Содержание
Введение 											4
Содержание дисциплины								7
Требования к результатам освоения дисциплины. Ожидаемые результаты											8
Рекомендуемая литература							        10
Планы практических занятий							        13
	Раздел I. Основные понятия начального курса математики и формирование вычислительных навыков					        13
	Раздел II. Алгебраический и геометрический материал в курсе математики начальной школы						        42
	Раздел III. Методика изучения величин в курсе математики начальной школы								        52
	Раздел IV. Решение задач в начальной школе			        64
Интерактивные методы и приемы обучения на уроках математики       81
Материалы для тестирования							       104
Контрольные работы								       117
Примерные вопросы зачета и экзамена по всему курсу		       126
Выполнение курсовых работ							       129
Использованная литература							       146
Приложения									       148

Введение
Одной из важных проблем в современной профессиональной подготовке бакалавра по направлению «Педагогическое образование» (профиль «Начальное образование») является формирование его готовности к качественному обучению младших школьников математике. 
Математика сегодня – это одна из жизненно-важных областей знания современного человечества, необходимая для существования человека в цивилизованном обществе. Широкое использование техники, в том числе компьютерной требует от индивида определённого минимума математических знаний и представлений.
На настоящий момент нет ни одной программы для начальной школы, которая исключала бы изучение математики, поэтому курс «Теоретические основы и технологии начального математического образования» относится к блоку дисциплин профильной подготовки. Этим определяется место и роль данного курса в целостной системе профессионально-образовательной подготовки будущего бакалавра педагогики по профилю «Начальное образование». Опираясь на такие ранее изученные дисциплины как педагогика (дидактические принципы, содержание, методы, средства и формы обучения), психология (возрастные особенности младших школьников, психологические механизмы усвоения знаний и др.), дисциплина «Теоретические основы и технологии начального математического образования» знакомит обучающихся с теоретическими основами математики (математические методы познания реальной действительности, система основных математических понятий, знаково-символических средств и форм) и технологиями начального математического образования (цель, задачи, содержание и методические особенности современных технологий математического образования младших школьников), формирует у студентов теоретические знания и практические умения, необходимые для качественной организации учебной деятельности младших школьников на уроках математики.
	Главная особенность данного курса заключается в интеграции основ математических знаний с методическими, которая осуществляется в процессе изучения каждой из тем. Однако методическая подготовка бакалавров педагогики (профиль «Начальное образование») имеет первостепенное значение, так как главной целью образования будущих учителей выступает формирование профессиональной компетентности. 
	Цель дисциплины: овладение  знаниями теоретических основ начального математического образования, различными методическими подходами к изучению основных содержательных линий начального курса математики и формирование профессиональных умений и навыков, используемых в процессе обучения математике младших школьников.
	Задачи курса:
- раскрыть теоретические основы главных содержательных линий курса математики и возможность их пропедевтического изучения в начальной школе;
- познакомить с целями и задачами, содержанием начального математического образования в условиях перехода на новые образовательные стандарты; 
- научить проектировать и осуществлять учебную и внеучебную работу по математике с использованием современных технологий, соответствующих общим и специфическим закономерностям и особенностям возрастного развития младшего школьника с использованием разнообразных ресурсов, в том числе потенциала других учебных предметов;
- познакомить с различными программами и учебниками по математике для начальной школы,  научить системно анализировать их,  оценивать эффективность различных методических подходов к введению основных математических понятий в различных программах по математике для начальной школы;
- научить использовать методы психологической и педагогической диагностики для отслеживания результативности обучения и выстраивать процесс обучения математике с учетом индивидуальных особенностей учащихся;
- способствовать формированию умений использовать методологию педагогических исследований проблем в области методики  преподавания математики;
- способствовать формированию умений ориентировки в профессиональных источниках информации в процессе самостоятельной работы по усвоению модуля (журналы, сайты, образовательные порталы и т.д.)
- научить использовать современные информационно-коммуникационные технологии (включая пакеты прикладных программ, локальные и глобальные компьютерные сети) для сбора, обработки и анализа информации в процессе выполнения самостоятельной работы при освоении дисциплины;
- способствовать формированию умений использовать основные способы математической обработки информации;
- развитие способности к логическому, аналитическому, критическому мышлению;
- формирование готовности к саморазвитию;
- формирование личной ответственности в принятии решений;
- развитие общих способностей: общения, сотрудничества, точности и продуктивности деятельности.
Содержание дисциплины
	Математика как наука и учебный предмет. Математические методы познания реальной действительности. Реализация принципа «преемственности образования» в системе дошкольного и начального образования.
	Психолого-педагогические основы организации математического развития младших школьников. Различные системы обучения математике младших школьников.
	Понятие множества. Операции над множествами. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами. Системы счисления Нумерация целых неотрицательных чисел в начальном образовании. Алгоритмы и их свойства. Алгоритмы в начальном курсе математики.
	Цели математического образования. Изучение арифметических действий в начальной школе. Умножение. Деление. Особые случаи умножения и деления. Письменное умножение и деление. Приемы рациональных вычислений в начальном курсе математики. Выражения, уравнения и неравенства. Алгебраический материал в программе начальных классов. Расширение множества натуральных чисел. Геометрические понятия в начальной школе. Изучение величин в начальной школе. Методика работы с текстовой задачей.
	Содержание современных информационных технологий в учебном процессе. Возможности применения современных технологий в процессе обучения математике.
	Содержание современных информационных технологий в учебном процессе. Возможности применения современных технологий в процессе обучения математике.
	Подготовка учителя к уроку математики в начальных классах. Индивидуализация обучения математике как средство развития личности учащегося начальных классов.

Требования к результатам освоения дисциплины. Ожидаемые результаты.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:
ОК 1. владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения;
ОК 2. использовать знание современной естественнонаучной картины мира в профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования.
ПК-1. реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях;
ПК-2. применять современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения.
	В результате изучения дисциплины «Теоретические основы и технологии начального математического образования» студент должен знать и понимать на эталонном уровне:
•	идеи и методы математики как науки;
•	принципы проектирования содержания начального математического образования;
•	идеи преемственности школьного математического образования;
•	влияние возрастных особенностей учащихся на организацию процесса обучения и способы их учета при проектировании образовательного процесса;
•	принципы построения индивидуальной траектории образования и развития учащегося.
Дисциплина призвана сформировать следующие умения:
•	доказывать основные математические положения;
•	решать математические задачи повышенного уровня сложности;
•	проектировать индивидуальную траекторию образования и развития учащегося в процессе обучения;
В результате обучения по курсу «Теоретические основы и технологии начального математического образования» студент-бакалавр должен быть готов на высоком уровне:
•	демонстрировать владение основами математической науки;
•	использовать разнообразные методы, методики и технологии  при организации процесса обучения математике в начальной школе;
•	использовать разнообразные методы исследования, методы анализа и самоанализа, осуществлять рефлексию собственной деятельности.

Рекомендуемая литература
1.	Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе: учеб. пособие для студентов вузов /А.В. Белошистая. – Москва: Владос, 2007. – 455 с.
2.	Белошистая, Н.В. Обучение решению задач в начальной школе. Книга для учителя /Н.В. Белошистая. – Москва: Русское слово, 2003. – 278 с.
3.	Демидова, Т.Е., Тонких, А.П. Теория и практика решения текстовых задач: учеб. пособие /Т.Е. Демидова, А.П. Тонких. - Москва: Академия, 2002. - 286 с.
4.	Дрозина, В.В., Дильман, В.Л., Дрозин, Д.А. Как научить младших школьников решать нестандартные задачи /В.В. Дрозина, В.Л. Дильман, Д.А. Дрозин. - Москва: Либроком, 2012. – 240 с. 
5.	Зайцева, С.А., Румянцева, И. Б., Целищева, И. И. Методика обучения математике в начальной школе /С.А. Зайцева, И.Б. Румянцева, И.И. Целищева. – Москва: Гуманитар. Изд. центр Владос, 2008 – 192 с.
6.	Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб. Пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений /Н.Б. Истомина.– Москва: Издательский центр «Академия», 2002.- 288 с.
7.	Методика начального обучения математике /Под общей редакцией А. А. Столяра и В. Л. Дрозда.- Минск: Вышэйшая школа, 1988 – 250 с.
8.	Оценка достижения планируемых результатов в начальной школе. Система заданий. В 3 ч. Ч. 1/ М.Ю. Демидова, С.В. Иванов, О.А. Карабанова [и др.] /Под ред. Г.С. Ковалевой, О.Б. Логиновой. – Москва: Просвещение, 2011. – 215 с.
9.	Примерные программы начального общего образования. В 2 ч. Ч.1 – Москва: Просвещение, 2009. – 317 с.
10.	Проектные задачи в начальной школе: пособие для учителя /А.Б. Воронцов, В.М. Заславский, С.В. Егоркина [и др.]. – Москва: Просвещение, 2009. – 176 с.
11.	Современный урок в начальной школе : опыт, идеи, рекомендации /авт.-сост. А. Б. Носкова [и др.]. - Волгоград: Учитель, 2011. – 238 с.
12.	Стойлова, Л.П. Математика: Учебник для студентов высших пед. учеб. заведений /Л.П. Стойлова. - Москва: Академия, 2007. – 432 с.
13.	Теоретические и методические основы изучения математики в начальной школе /А.В. Тихоненко [и др.]; под ред. проф. А.В. Тихоненко. – Ростов н/Д: Феникс, 2008. – 349 с.
14.	Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования /Министерство образования и науки Российской Федерации. – Москва: Просвещение, 2010. – 31 с.
15.	Формирование  универсальных учебных действий в начальной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя /А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская [и др.]. - Москва: Просвещение, 2010. – 159 с.
16.	 Шадрина, И.В. Геометрия в начальной школе: Учебное пособие для студентов факультетов начальных классов /И.В. Шадрина. – Москва: МГПУ, 2007. – 175 с.

Полезные сайты
1.	Архив журнала «Начальная школа плюс до и после» www.school2100.ru
2.	Архив журнала «Начальная школа» www.n-shkola.ru
3.	«Начальная школа: Я - учитель». www.center.fio.ru
4.	 «Учительская газета». www.ug.ru
5.	Внеклассные мероприятия к любому празднику. www.schoollessons.narod.ru
6.	Газета “Начальная школа”. www.1september.ru
7.	Духовно-нравственное воспитание и образование.  www.moral-educ.narod.ru
8.	Образовательная система "Школа 2100". www.school2100.ru
9.	Образовательный портал Ucheba.com. www.uroki.ru
10.	Российский образовательный портал. www.school.edu.ru
11.	Сайт «Большая перемена». www.newseducation.ru
12.	Учебно-методический комплекс «Школа России» www.school-russia.prosv.ru
13.	Образовательная система www.umk-garmoniya.ru
14.	Система развивающего обучения Занков.ru www.zankov.ru
15.	Учебно-методический портал. www.nachalka.ru
16.	Учебные материалы для студентов www.vunivere.ru
17.	Учительская копилка. www.uchkopilka.ru
18.	Учительский портал. www.uchportal.ru
19.	Сайт Министерства образования и науки РФ www.mon.gov.ru
20.	Сайт Рособразования www.ed.gov.ru
21.	Федеральный портал «Российское образование» www.edu.ru
22.	Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов www.school-collection.edu.ru
23.	Федеральный портал «Информационно-коммуникационные технологии в образовании» www.ict.edu.ru
24.	Авторская методика обучения www.metodika.ru
25.	Информационно-методический сайт для учителей и школьников www.moyashkola.ru
26.	Словари, энциклопедии, справочники www.slovari.yandex.ru

Планы практических занятий
Раздел I. Основные понятия начального курса математики и формирование вычислительных навыков
Практическое занятие № 1
Тема: цели математического образования.
Цель: актуализировать знания студентов об образовании, обучении, воспитании. Вычленить цели современного математического образования. Выявить влияние различных факторов на постановку целей образования.
Теоретическая консультация
	С 2011-2012 учебного года во всех школах России введен Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО) (утвержден приказом от 6 октября 2009 года №373 (зарегистрирован Минюстом России 22 декабря 2009 года №15785). Основу стандарта составил системно-деятельностный подход, который ориентирует начальную школу не только на изучение предметного содержания, но и на достижение метапредметных результатов – умения учиться, познавательных и коммуникативных умений. 
	В соответствии с примерной программой по математике основными целями изучения данного предмета стали: 
• математическое развитие младшего школьника - формирование способности к интеллектуальной деятельности (логического и знаково-символического мышления), пространственного воображения, математической речи; умение строить рассуждения, выбирать аргументацию, различать обоснованные и необоснованные суждения, вести поиск информации (фактов, оснований для упорядочения, вариантов и др.); 
• освоение начальных математических знаний - понимание значения величин и способов их измерения; использование арифметических способов для разрешения сюжетных ситуаций; формирование умения решать учебные и практические задачи средствами математики; работа с алгоритмами выполнения арифметических действий; 
• воспитание интереса к математике, стремления использовать математические знания в повседневной жизни.
Таким образом, можно выделить три группы целей: 
• образовательные (обучающие); 
• развивающие; 
• воспитательные. 
Вопросы для коллективного обсуждения.
1.	Как соотносятся цели образования и цели обучения математике?
2.	Каковы способы постановки целей обучения?
3.	Каковы компоненты содержания начального математического образования?
4.	Какова роль математического образования?
5.	В чем заключаются функции обучения математике?
6.	В каких нормативных документах зафиксированы цели и содержание начального курса математики?
Задания для самостоятельной работы
1.	В соответствии с примерной программой по математике для начальной школы выделите основные цели изучения данного предмета.
2.	Какие образовательные, воспитательные и развивающие задачи в соответствии с программой необходимо решить в процессе обучения математике в начальной школе?
3.	Выделите в тексте Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования требования к усвоению предмета «Математика».
4.	Каковы структура примерной программы по математике федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования?
5.	Назовите основные разделы начального курса математики.
6.	Занесите в словарь терминов следующие термины: образование, обучение, воспитание, развитие.
7.	Подготовьте доклады по теме занятия, пользуясь указанной литературой
Литература
1.	Арнольд, В.И. Математика и математическое образование в современном мире /В.И. Арнольд //Математическое образование. – 1997. -  № 2. – С. 109-112.
2.	Власов, А.К. Какие стороны элементарной математики представляют ценность для общего образования? /А.К. Власов //Математическое образование.-1997. - № 1. – С. 66- 75.
3.	Гнеденко, Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математике /Б.В. Гнеденко. - Москва: Просвещение, 1982. – 144 с.
4.	Гусев, В.А. Как помочь ученику полюбить математику? /В.А. Гусев. – М.: Авангард. – 1994. – Ч.1. – 208 с.
5.	Дорофеев, Г.В. О принципах отбора содержания школьного математического образования /Г.В. Дорофеев //Математика в школе. – 1990 - №6. – С. 2-5.

Практическое занятие № 2
Тема: реализация принципов преемственности в математическом образовании в системе дошкольного и начального образования.
Цель: рассмотреть основные положения преемственности в математическом образовании, выделить приоритетные задачи в преемственном математическом образовании в системе дошкольного и начального образования. Ознакомиться с современными публикациями по теме занятия.
Теоретическая  консультация
	Одним из основных направлений Федерального государственного образовательного стандарта общего образования является обеспечение преемственности основных образовательных программ начального, общего, основного общего, среднего (полного) общего, профессионального образования.
	С 2013-2014 учебного года вступил в силу закон «Об образовании в Российской федерации», который закрепил за дошкольным образованием статус исходного, базового уровня образовательной системы. В связи с этим возникла необходимость в пересмотре традиционного подхода к организации педагогического процесса в дошкольном образовательном учреждении. В 2014 году в государственные образовательные учреждения вводится Федеральный государственный образовательный стандарт дошкольного образования. 
	Будущему учителю начальных классов необходимо иметь представление о том, как организуется образовательный процесс в детском саду для того, чтобы правильно организовать обучение, воспитание и развитие в школе.
Вопросы для коллективного обсуждения
1.	Раскройте сущность термина преемственность. Какие подходы к определению преемственности существуют в настоящее время?
2.	Какие приоритетные задачи и принципы преемственности в математическом образовании присутствуют в системе дошкольного и начального образования?
3.	В какой образовательной области в Федеральном государственном образовательном стандарте дошкольного образования находится математика?
Задания для самостоятельной работы
4.	Проанализируйте Федеральные государственные образовательные стандарты начального и дошкольного образования.
5.	Проанализировав учебник Михайловой З.А., выделите основные направления математического развития в детском саду.
6.	Составьте библиографический список современной периодической литературы по теме занятия.
7.	Внесите в терминологический словарь определение терминов «преемственность», «образовательная система», «образовательная область».
Литература
1.	Бадулина, О.И. К проблеме преемственности дошкольного и начального образования /О.И. Бадулина //Начальная школа. – 2002. - №1. – С. 101-104.
2.	Белошистая, А.В. Преемственность в математическом образовании дошкольника и младшего школьник /А.В. Белошистая //Начальная школа. – 2003. - №4. – С. 68-72.
3.	Гришина, Г.Н., Дружинина, Н.Н. Реализация принципа преемствености дошкольного и начального образования в условиях современного образовательного пространства /Г.Н. Гришина //Начальная школа. – 2014. - № 1. – С. 22-29.
4.	Данилина, Р.А. Осуществление преемственности дошкольного и начального образования /Р.А. Данилина //Начальная школа. – 2002. - № 9. – С. 44-47.
5.	Кулаченко, М.П., Ампилова Н.И. Детский сад – школа. Опыт сотрудничества /М.П. Кулаченко //Начальная школа. – 2003. - №8. – С. 100-101.
6.	Миронов, В.А. Игра - средство реализации принципа преемственности дошкольного и начального образования /А.В. Миронов //Начальная школа. – 2013. - №12. – С. 22-28.
7.	Михайлова, З.А. Теории и технологии математического развития детей дошкольного возраста /З.А. Михайлова, Е.А. Носова, А.А. Столяр и др. – Санкт- Петербург: Детство-Пресс, 2008. – 384 с.

Практическое занятие № 3
Тема: учебник как основное средство обучения математике.
Цель: провести обзор современных учебников по математике для начальной школы.
Теоретическая консультация
	Учебник является основным средством обучения математике младших школьников. С помощью учебника на методическом уровне реализуются основные цели и задачи курса, а также особенности методической концепции автора программы. 
	К основным функциям учебника относят: информационную, трансформационную, систематизирующую, функцию закрепления и самоконтроля, интегрирующую, воспитательную, координирующую и др. 
	В структуре учебника принято выделять две основные группы компонентов: текст и внетекстовые компоненты. Текстовый материал может быть основным (определения, законы, свойства арифметических действий), дополнительным (обращение, справочный материал) и пояснительным (примечание, словари). Внетекстовые компоненты представлены в учебниках математики для начальной школы в гораздо большем объеме, чем текст. Они направлены на усвоение определенной информации, организацию познавательной деятельности, формирование математических умений и навыков. Среди внетекстовых компонентов можно выделить: 
1. аппарат организации усвоения (вопросы и задания, упражнения, памятки, инструктивный материал и др.);
2. иллюстративный материал (предметные, сюжетные иллюстрации, чертежи, схемы, графики и др.);
3. аппарат ориентировки (оглавление, предисловие, рубрикация, колонтитул, библиографический указатель и др.).
	Современные учебники математики, используемые в начальной школе, должны обязательно входить в Федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования РФ, который ежегодно публикуется на соответствующем сайте. Они проходят экспертизу на соответствие Федеральному государственному образовательному стандарту начального общего образования и санитарным требованиям.
Вопросы для коллективного обсуждения
1.	Какие учебники по математике находятся в перечне учебников, рекомендованных Министерством образования Российской федерации на текущий учебный год, к каким образовательным программам они относятся?
2.	Как принципы образовательных программ реализуются в построении учебников? 
3.	Каким требованиям должен удовлетворять современный учебник математики для начальной школы? 
Задания для самостоятельной работы
1.	На примере одного из современных учебников математики для начальной школы найдите текстовые и внетекстовые компоненты. Объясните, почему одна группа компонентов доминирует? 
2.	Выпишите план анализа развивающего учебника, предлагаемый Н.Б. Истоминой и М. Дукарт ( Литература № 1). Выполните анализ учебника для определенного класса по предложенному плану. 
3.	Внесите в словарь определение термина «учебник».
Литература
1.	Истомина, Н.Б., Дукарт, М. К вопросу о развивающем учебнике математики для начальных классов /Н.Б. Истомина, М.К. Дукарт //Начальная школа. - 2000. - №2. – С. 86-90.
2.	Степанова, С.В. Новый учебник по математике для четырехлетней начальной школы /С.В. Степанова //Начальная школа.  - 2001. - №9. - С. 34-36.
3.	Шмырева, Г.Г. Учебник по математике как важнейшее средство практической реализации новых образовательных технологий /Г.Г. Шмырева //Начальная школа. - 2003. - №2. - С. 25-28.

Практическое занятие №4
Тема: аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами. Системы счисления.
Цель: охарактеризовать основные положения аксиоматической теории построения системы натуральных чисел и теоретико-множественного подхода к определению натурального числа.
Теоретическая консультация
	Теоретические основы математического развития у дошкольников и учеников начальной школы получили сравнительно недавно (около 20 лет назад) специальное название – «предматематика» (англ. premathematics).
	Традиционно в качестве теоретических основ обучения принимали соответствующие математические теории в их завершённом виде. Однако дедуктивно построенная математическая теория не может служить основой для дошкольного и начального школьного обучения математике.
	Предматематику не следует принимать за «детскую математику». На предматематическом уровне изучаются некоторые понятия и темы школьного курса математики в средних и старших классах школы. Этот уровень часто используется и в научно-популярной литературе. Что же касается математического развития дошкольников и младших школьников, то оно полностью находится на предматематическом уровне. Поэтому цели и результаты этого обучения правомерно называть «предматематической» подготовкой дошкольников и младших школьников, т.е. их подготовкой к изучению математики.	
Вопросы для коллективного обсуждения
1.	История возникновения понятий натурального числа и нуля.
2.	Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.
3.	Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля, отношения «меньше», операций над числами.
4. Дайте определение понятию «Системы счисления». Перечислите и охарактеризуйте существующие системы счисления.
Задания для самостоятельной работы
1.	В терминологическом словаре раскройте смысл терминов «число», «система счисления»
2.	Выясните, как формулируются в различных учебниках по математике для начальной школы: коммуникативное свойство сложения, ассоциативное свойство сложения.
3.	Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания: запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем75;назовите самое маленькое и самое большое трёхзначное число; назовите предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300(800, 609, 999).
4.	Запишите в римской системе счисления следующие числа:495, 837, 9629, 567983.
5.	Запишите в десятичной системе счисления: XXVII, XXI, XLIV, CDXXIII, MCDVII, MDCCLXXI.
6.	Выполни задание за учащегося. Вычисли, учитывая заданные системы счисления. 	32(5) - 14(5) =__(5)			32(8) -14(8) =__(8)
				32(7) -14(7) =__(7)			32(9) -14(9) =__(9)
Литература
1.	Стойлова, Л.П. Математика: учебник для студ. высш. пед. учеб. заведений Л.П. Стойлова – Москва: Издательский центр «Академия», 2007. – 432 с.
2.	Смолеусова, T.B. Проекты по математике как методическая инновация /Т.В. Смолеусова //Начальная школа. – 2013. - № 8. - С. 56-60.
Практическое занятие № 5
Тема: изучение чисел в начальной школе.
Цель: определить понятие числа и числа первого десятка, сформировать понятие о разрядах числа.
Теоретическая консультация
	При формировании понятия целого неотрицательного числа учащиеся усваивают его теоретико-множественный смысл, в соответствии с которым натуральное число рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств, а число нуль – как число элементов пустого множества. 
	Целесообразность использования теоретико-множественного подхода в качестве ведущего объясняется рядом причин: 
• предоставляется возможность опираться на личный опыт ребенка, в частности, операциональный, то есть опыт «делания» или опыт выполнения практической, «ручной», предметно-манипулятивной деятельности; 
• соответствующие манипуляции с предметными совокупностями менее трудоемки и громоздки, легко поддаются контролю и коррекции, что позволяет заложить фундамент для правильных умственных действий. 
	При изучении величин и способов их измерения дети рассматривают натуральное число как измерения величин, что позволяет в перспективе перейти к получению любого действительного числа. Выстраивая отрезок натурального ряда, учащиеся постепенно знакомятся с некоторыми свойствами, описанными в аксиоматической теории. Таким образом, в программах отражены различные подходы к определению натуральных чисел, что способствует формированию у младших школьников соответствующих понятий.
	В процессе изучения нумерации у детей формируются начальные представления о позиционной десятичной системе счисления, то есть основными понятиями темы являются понятия «разряд» и «класс».
Вопросы для коллективного обсуждения
1.	Каким  вопросам при изучении данной темы уделяется основное внимание?
2.	В чем состоят отличительные особенности методики ознакомления с числами первого десятка и числа нуль?
3.	Каковы методические особенности изучения тем «Числа второго десятка», «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа»?
4.	Существует ли преемственность нумерации чисел в концентрах «Десяток», «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа»?
5.	В чем заключаются особенности сравнения чисел в начальной школе?
Задания для самостоятельной работы
1.	Пользуясь статьей «Формирование навыка письма цифр» в журнале «Начальная школа» - 1990 - №10, проанализируйте как изменилось написание цифр за последние десятилетия. Напишите в тетради десять строчек различных цифр, пользуясь современными учебниками математики, выделите особенности в обучении написанию цифр  в различных системах обучения.
2.	Какие из приведенных ниже заданий учитель сформулировал некорректно? Почему? 
а) Посчитайте от 1 до 9. 
б) Посчитайте от 9 обратно. 
в) Назовите числа от одного до девяти по порядку. 
г) Назовите числа от девяти в обратном порядке. 
д) Посчитайте от трех и дальше… 
е) Назовите цифры по порядку.
3.	Пользуясь современными учебниками и методическими рекомендациями к ним, составьте фрагмент урока по знакомству с числом нуль.
4.	Подберите дидактические игры, упражнения, стихи о цифрах, которые можно использовать с целью: формирования навыков счета; - усвоения принципа образования натурального ряда чисел от 1 до 10; формирования умения сравнивать числа; усвоения состава чисел.
5.	Подберите упражнения и дидактические игры, которые можно использовать для закрепления вопросов: разрядный состав числа; поместное значение цифр; соотношение разрядных единиц; принцип образования натурального ряда чисел; запись многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых.
6.	В словарь добавьте термины «число», «цифра», «разряд числа», «класс».
Литература 
1.	Вапняр, Н.Ф., Чекин, А.Л. Число и цифра. К вопросу о терминологии /Н.Ф. Вапняр, А.Л. Чекин //Начальная школа. - 1991. - №8. - С. 77-80
2.	Волина, В.В. Праздник числа (Занимательная математика для детей): Книга для учителей и родителей /В.В. Волина. - Москва: Знание, 1993. – 336 с. 
3.	Гаркавцева, Г.Ю. Продуктивное повторение при изучении темы «Двузначные числа» /Г.Ю. Гаркавцева //Начальная школа. – 2005 - №4. - С. 43-48.
4.	Григорьева, Ж.В. Развитие визуального мышления первоклассников на первых уроках математики /Ж.В. Григорьева //Начальная школа. - 2011. - №8. - С. 42-46.
5.	Иванова, Т.И. Моделирование состава чисел в пределах 10 /Т.И. Иванова //Начальная школа. - 2004. - №10. – С. 58-60.
6.	Смирнова, В.В. Работа над темой «Тысяча» в начальном курсе математики /В.В. Смирнова //Начальная школа плюс до и после. – 2003. – - №7. - С. 47-48.
7.	Шадрина, И.В. Содержание подготовительной работы к изучению чисел /И.В. Шадрина //Начальная школа. - 1991. - №8. – С. 35-37.

Практическое занятие №6
Тема: вычислительные приемы сложения и вычитания.
Цель: рассмотреть современную методику формирования вычислительных умений и навыков, методику изучения свойств арифметических действий. Выделить виды, методы и формы проверки вычислительных навыков, средства наглядности при формировании вычислительных навыков.
Теоретическая консультация
	Важным этапом в формировании понятия натурального числа у учащихся является рассмотрение арифметических действий. В изучении арифметических действий следует выделить несколько взаимосвязанных вопросов: 
• формирование конкретного смысла арифметических действий, составление таблиц сложения и умножения; 
• изучение свойств арифметических действий; 
• изучение приемов устных вычислений; формирование навыков устных вычислений; 
• изучение приемов письменных вычислений, формирование навыка письменных вычислений. 
	В качестве теоретической основы разъяснения смысла арифметических действий выступает теоретико-множественная трактовка суммы, разности, произведения, частного. Разъяснить конкретный смысл – значит, раскрыть связь действий над числами с операциями над множествами. Усвоение смысла действий предполагает наличие сформированного умения осуществлять переход от непосредственного предметного действия или его изображения к числовому выражению или равенству и наоборот, таким образом, осознается предметный смысл числовых выражений и равенств. Следовательно, деятельность учащихся при изучении смысла арифметических действий включает: 
• выполнение предметных действий (объединения множеств, удаление части множества, объединение нескольких равномощных множеств, деление по содержанию и на равные части); 
• перевод предметного действия на математический язык; 
• установление соответствия между предметными действиями и математическими записями. 
	Программой по математике в начальной школе предусмотрено изучение свойств арифметических действий. Изучение данного вопроса осуществляется на практическом уровне, по возможности без введения соответствующих развернутых формулировок. Последовательность их изучения определяется логикой введения вычислительных приемов, которые опираются на эти свойства. В основе методики лежит идея преобразования эмпирического материала и перевод ситуации на математический язык.
Вопросы для коллективного обсуждения
1.	Определите теоретическую основу действий сложения и вычитания. Дается ли в современных учебниках по математики для 1 класса какое-либо определение действий сложения и вычитания? В процессе выполнения каких заданий учащиеся усваивают конкретный смысл действий сложения и вычитания?
2.	В чем заключаются особенности изучения вычислительных приемов для чисел первого десятка?
3.	Каковы особенности изучения вычислительных приемов для чисел второго десятка?
4.	В чем сложность приема сложения и вычитания с переходом через десяток?
5.	Расскажите об устных приемах сложения и вычитания в пределах 100.
6.	В чем особенности письменных приемов сложения и вычитания?
7.	Охарактеризуйте особенности сложения и вычитания многозначных чисел.
8.	Перечислите типичные вычислительные ошибки учащихся, допускаемые при изучении сложения и вычитания и приемы их предупреждения.
Задания для самостоятельной работы
1.	Составьте упражнения, с помощью которых будут закрепляться навыки табличного сложения и вычитания в пределах 10 в форме: устного счета, математического диктанта, индивидуального опроса.
2.	Подберите задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают прием сложения однозначных чисел с переходом через десяток.
3.	Подберите задания и игры, которые помогут учащимся запомнить таблицу сложения и соответствующие случаи вычитания.
4.	Составьте проверяющую перфокарту, которую можно дать после изучения свойства (а + в) + с.
5.	Одной из задач начального курса математик является усвоение младшими школьниками математической терминологии. Оцените правильность (корректность) используемой учителем терминологии при формулировке заданий. 
•	На доске записаны выражения: 5 + 4; 6 - 2. Найдите их значения. 
•	Какое число пропущено в выражении: 3+...=4? 
•	Сравните два выражения: 2 + 6 = 8; 6 + 2 = 8. Чем они похожи? Чем они различаются? 
•	Какое число пропущено в записи: 8 -...= 6? 
•	Какое число пропущено в равенстве: ...- 4 = 2? 
•	Какое выражение больше: 3 + 4 или 2 + 5? 
•	Значение какого выражения больше 3 + 4 или 2 + 5? 
•	Выберите верные выражения: 	5 + 2 = 7		 8 – 2 = 5; 
4 + 5 = 9		 9 – 3 = 5.
6.	Учитель предлагает задание: «В корзинку Марина положила два красных яблока и одно желтое. Сделай рисунок и покажи, сколько яблок всего. Выполни запись по рисунку». Некоторые дети выполнили следующую запись: 2-1. Укажите причины возникновения подобной ошибки. Составьте задания для работы над ошибками. 
7.	Какие универсальные учебные действия формируются в процессе выполнения задания: дан магический квадрат. Докажите, что в клетке со звездочкой не может стоять число 32.
8			
6		*	
16	2		

8.	Внесите в терминологический словарь следующие понятия: выражение, равенство, значение выражения, абак, фланелеграф.
Литература
1.	Белошистая, А.В. Прием формирования устных вычислительных умений в пределах 100 /А.В. Белошистая //Начальная школа. - 2001. - №7. – С. 4-49
2.	Ивашова, О.А. Применение исследовательских заданий в занимательной форме для становления вычислительной культуры у младших школьников /О.А. Ивашова //Начальная школа. - 2009. - №8. – С. 19-25.
3.	Огурцова, З.И. Формирование у первоклассников навыков быстрого устного счета /З.И. Огурцова //Начальная школа плюс до и после. – 2006.  - №9. – С. 49-51.
4.	Попова, Е.В. Устный счет – «изюминка» моих уроков математики /Е.В. Попова //Начальная школа .– 2003.  - №9. – С. 76-79.
5.	Смирнова, В.В. Приемы работы при изучении темы «Сложение и вычитание чисел 1-10» /В.В. Смирнова //Начальная школа плюс до и после. – 2006.  - №9. – С. 46-48.
6.	Туркина, В.М. Математические квадраты как средство развития умения вычислять и рассуждать /В.М. Туркина //Начальная школа. – 2001. - №9. – С. 16-18.
7.	Фаддейчева, Т.И. Обучение устным вычислениям /Т.И. Фаддейчева //Начальная школа. - 2003. - №10. – С. 66-69.

Практическое занятие №7
Тема: умножение. Деление. 
Цель: рассмотреть общие вопросы методики изучения умножения и деления, различные методические подходы к введению таблицы умножения. Выделить приемы запоминания таблицы умножения и деления.
Теоретическая консультация
Умножение по таблицам впервые вели вавилонские математики. Однако это было не традиционное умножение в десятичной системе счисления, а умножение по готовым таблицам шестидесятеричной системе счисления, не получившей широкого распространения.
	Привычная форма таблицы умножения использовалась в таблицах Палимеда (до III в. До н.э.), выполненных в виде столбиков, и таблице Никомаха (I в. Н.э.), выполненной в виде квадрата. Современное применение табличного умножение ведет свое начало со времени изобретения индийцами десятичной позиционной системы счисления и введения ими нуля, а также изобретения более совершенных способов умножения произвольных чисел (V-VI вв.). Применяемая сегодня форма записи действия умножения введена Н.Г. Кургановым в его «Универсальной арифметике» (1757г.).
	Табличное деление (в том смысле, которое рассматривается в современной начальной школе) фактически появляется одновременно с возникновением табличного умножения у индийцев. Однако на таблицу деления большинство математиков не обращали особого внимания. Впервые в русские учебники таблица деления ведена П.С. Гурьевым (1832г.), а необходимость ее применения обоснована С.И. Шорох-Троцким (1903г.).
	До конца 70-х годов XIX в. в школах России таблицы умножения и деления не изучались, а механически заучивались (зазубривались). Лишь с появлением «Методики арифметики» В.А. Евтушевского они стали именно изучаться, т.е. составляться тем или иным способом и усваиваться обучающимися в процессе упражнений.
	Вопросы формирования понятия обучающихся об умножении и делении изложены в «Очерках по методике арифметики» Ф. А. Эрна. Вопросы взаимосвязи между умножением и делением, а также вопросы психологии усвоения обучающимися умножения и деления в значительной мере раскрыты в «Методике арифметики» С.И. Шорох-Троцкого, а также в работе Н.А. Менчинской «Психология обучения арифметике»
	Методы изучения таблиц умножения и деления были разработаны методистами А.И. Гольденбергом, В.К. Беллюстиным и др. Они широко проверены на опыте массовой школы.
Вопросы для коллективного обсуждения
1.	Как в начальных классах с теоретико-множественной точки зрения рассматривается смысл действия умножения?
2.	Охарактеризуйте подготовительную работу к изучению умножения и таблицы умножения.
3.	Выделите основные приемы запоминания таблицы умножения.
4.	Как в начальных классах с теоретико-множественной точки зрения рассматривается смысл действия деления?
5.	Назовите средства, методы, приемы и формы работы, используемые при изучении таблицы деления.
Задания для самостоятельной работы
1.	Проанализируйте учебники по математике для начальных классов, в какой последовательности изучается таблица умножения в различных образовательных программах 
2.	Подготовьте сообщения о приемах запоминания таблицы умножения, пользуясь статьям из журнала «Начальная школа». Расскажите о таблице умножения на пальцах.
3.	Пользуясь результатами передового педагогического опыта, подготовьте карточки для учащихся с заданиями на запоминания таблицы умножения и деления.
4.	Составьте аннотированный библиографический список журнальных статей за последние три года по теме занятия.
Литература
1.	Гайдина, Л.И. Таблица умножения с увлечением /Л.И. Гайдина //Начальная школа плюс до и после. – 2008. - № 7, № 11. – С. 35-37.
2.	Григорьева, Ж.В. Визуализация условия текстовой задачи для понимания операций умножения и деления /Ж.В. Григорьева //Начальная школа. - 2009. - № 5. – С. 46-48.
3.	Казакова, М.А. К вопросу об изучении умножения в начальном курсе математики /М.А. Казакова //Начальная школа. – 2006. - №8. - С. 68-71.
4.	Савина, Л.П. Усвоение таблицы умножения /Л.П. Савина //Начальная школа. – 2006. - №1. – С. 46-49.
5.	Хлебникова, О.А. Изучение табличных случаев умножения /О.А. Хлебникова //Начальная школа. -2010. - №2. – С. 36-38.

Практическое занятие №8.
Тема: особые случаи умножения и деления. 
Цель: познакомится с особыми случаями умножения и деления такими как: умножение и деление с нулем и единицей; внетабличное умножение и деление в пределах 100; деление с остатком; приемы устных вычислений умножения и деления трехзначных и многозначных чисел.
Теоретическая консультация
	Вычислительным приемом называем ряд последовательных операций, выполнение которых позволит найти результат выполнения арифметического действия. 
	В методике выделяют приемы устных и письменных вычислений. Вычисления, производимые устно и оформляемые в строчку, считаются устными. Ориентировочной (теоретической) основой устных вычислений является: 
• десятичная запись числа; 
• свойства арифметических действий; 
• таблицы сложения и умножения; 
• ранее усвоенные вычислительные приемы. 
	Процесс формирования вычислительного навыка предусматривает ряд этапов.
1. Подготовительный этап. Подготовка к изучению вычислительного приема заключается в изучении теоретических положений, которые являются основой вычисления, и соответствующих способов действия. 
2. Введение вычислительного приема. Сущностью данного этапа является выделение последовательности операций, входящих в содержание вычислительного приема. Необходимая система операций может выделяться на основе анализа и сравнения образцов, самостоятельного конструирования приема, исследования и преобразования модели числа. 
3. Усвоение вычислительного приема в громкоречевой форме. Организация деятельности на данном этапе предполагает проговаривание всех операций вслух. Непосредственное проговаривание может заменяться выполнением развернутой (подробной) записи. 
4. Формирование навыка. На данном этапе происходит свертывание операций: 
• сокращаются в первую очередь промежуточные операции; 
• сокращение некоторых основных операций; 
• предельное сокращение основных операций. 
	В результате у учащихся формируется вычислительный навык. В зависимости от специфики программы содержание этапов формирования навыка, система методических приемов может быть различной.
Вопросы для обсуждения
1.	В чем состоит особенность умножения и деления с 0 и 1, почему эти случаи рассматривают отдельно от табличных?
2.	Какова теоретическая основа внетабличного умножения и деления? Назовите основные используемые математические законы и правила.
3.	С какой целью в начальных классах водится тема «деление с остатком»?
4.	В чем заключается особенность устных вычислений умножения и деления трехзначных и многозначных чисел?
Задания для самостоятельной работы
1.	Рассмотрите правила, которые изучаются в теме «Деление с остатком». Составьте обучающие карточки по этим правилам. 
2.	Учитель предлагает задания для подготовки к изучению вычислительного приема: 
• Найти значения выражения разными способами: (25+15):5, (32+16):4. 
• Найти значение выражения удобным способом: (60+12):3, (70+14):4.
• Запиши только значение частного: 60:3, 27:9, 36:4, 50:5, 40:2, 56:7, 90:3. 
Какой вычислительный прием рассматривается на данном уроке? Сформулируйте тему и цели урока.
3.	Приготовьте доклады по статьям из журнала «Начальная школа».
4.	Составьте кластер «Алгоритм деления с остатком».
5.	На основе свойств делимости не выполняя вычислений ответьте не вопрос: какие остатки при делении на 9 дадут числа 1725, 37418, 4532046?
Литература
1.	Дюляева, Г.В. Изложение темы «Делимость» на основе теории сравнений /Г.В. Дюляева //Начальная школа. – 2003. - №10. – С. 63-66..
2.	Ефимов, В.Ф., Епишина, Л.В. Изучения внетабличного умножения коллективными способами обучения /В.Ф. Ефимов, Л.В. Епишина //Начальная школа. - 2008. - №11. - С. 80-85.
3.	Ивашова, О.А. Применение исследовательских заданий в занимательной форме для становления вычислительной культуры у младших школьников /О.А. Ивашова //Начальная школа. - 2009. - №8. С. 19-25.
4.	Окунева, В.Ф. Урок математики с элементами краеведения /В.Ф. Окунева// Начальная школа. – 2006. - №11. – С. 83-85.

Практическое занятие №9
Тема: письменное умножение и деление. Приемы рациональных вычислений в начальных классах.
Цель: рассмотреть современную методику формирования алгоритма письменного умножения и деления. Актуализировать знания студентов в области рациональных вычислений в пределах тысячи
Теоретическая консультация
	Программой по математике для начальной школы предусмотрено формирование навыка письменных вычислений частичной автоматизации. Это означает, что автоматизируются лишь некоторые операции, для нахождения результата учащиеся выполняют все операции, но при этом не объясняют способ выполнения каждой элементарной операции. (Элементарной операцией в данном случае называют ранее усвоенный способ, который в качестве составляющей операции используется в алгоритмическом предписании). Учитывая эту особенность, иногда утверждается возможность формирования только умений выполнять письменные вычисления. 
	Алгоритмы письменных вычислений являются наиболее трудными для усвоения младшими школьниками. Это объясняется следующими причинами: 
• Алгоритмы письменных вычислений (особенно письменного деления) являются наиболее сложными т.к. в их состав входят большое количество элементарных операций. 
• Для усвоения алгоритмов у учащихся должны быть сформированы знания, умения и навыки на достаточно высоком уровне (знание структуры многозначного числа, умение делить с остатком, навыки табличных вычислений). Однако предполагаемый уровень довольно часто не совпадает с реальным. 
	Для формирования соответствующего навыка используются различные методические подходы: рассматриваются различные частные случаи (сложение с одним переходом через разряд, с переходом через несколько разрядов, умножение и деление с нулями и т.д.). Сущность другого подхода заключается в отработке наиболее трудных для учащихся операций (запись «в столбик», механизм перехода через разряд, подбор пробной цифры частного и т.д.), в результате учащиеся овладевают общим способом действия.
Вопросы для коллективного обсуждения
1.	Какие математические законы и правила используются при умножении в столик?
2.	Какие приемы вычислений при умножении в столбик рассматриваются в начальных классах?
3.	 Какие математические законы и правила используются при делении в столик?
4.	Какие приемы вычислений при делении в столбик рассматриваются в начальной школе?
5.	Что означает  понятие «рациональные вычисления»? Сформулируйте цель применения приемов рациональных вычислений.
Задания для самостоятельной работы
1.	В современных учебниках по математики найдите примеры применения приемов рационального вычисления.
2.	Реши за обучающегося в начальных классах. С какой целью предлагаются подобные задания?
Вставь пропущенные цифры.
    я я 5		1я я я|9 		
      4 я		  я         		
    3 я я		  я я
я 2 я я  		  я я	
1 я я я я		    я я
			    я 4
			       0
3.	Составьте аннотированный библиографический список журнальных статей по теме занятия за последние 3 года.
4.	Внесите в словарь терминов определения слов: делимость, рациональные вычисления.
Литература
1.	Бельтюкова, Т.В. Приемы проверки пробной цифры частного /Т.В. Бельтюкова //Начальная школа. - 1978. - №2. – С. 38-42.
2.	Ефимов, В.Ф. Изучение письменного умножения многозначных чисел в условиях коллективных способов обучения (КСО) /В.Ф. Ефимов //Начальная школа. - 1998. - №1. - С. 77-79
3.	Царева, С.Е. Предупреждение ошибок учащихся при делении многозначных чисел /С.Е. Царева //Начальная школа. - 1985. - №12. – С. 34-37.
4.	Шандрук, Т.Н. Случай деления с нулем в частном /Т.Н. Шандук //Начальная школа. - 1982. - №3. - С. 56-59.

Раздел II. Алгебраический и геометрический материал в курсе математики начальной школы
Практическое занятие № 1
Тема: алгебраический материал в программе начальных классов.
Цель: изучить вопросы алгебраического характера, включенные в начальный курс математики: уровень обобщения при их раскрытии, последовательность изучения, выделение взаимосвязей между изучением алгебраического и арифметического материала.
Теоретическая консультация
	Цели изучения уравнений в начальной школе:  сформировать представление об уравнении как об истинном равенстве, содержащем неизвестное число;  сформировать умение использовать терминологию (уравнение, решение уравнения, «корень» уравнения);  сформировать умения решать уравнения, используя метод подбора, правило взаимосвязи между компонентами и результатами действий. 
	Прием решения уравнений, основанный на правиле взаимосвязи компонентов и результатов арифметических действий, используется только в начальных классах. Его целесообразность объясняется возрастными особенностями младших школьников.
	Взрослый, знакомый с универсальным методом решения уравнений, применяемых в старших классов (раскрытие скобок, перенос компонентов уравнения слева направо) хорошо видит несовершенство и излишнюю трудоемкость этого метода. И хотя этот способ решения является нерациональным с математической точки зрения и будет забыт и отброшен в 5-7 классах, в начальных классах может быть использован только он, т.к. младшие школьники еще не знакомы с понятиями как функция, область определения функции, тождественные преобразования и др.
	Существует два методических подхода к обучению решению уравнений: 
• познакомить с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения осуществлять работу по усвоению детьми правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий; 
• приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться при решении уравнений.
Вопросы для обсуждения.
1.	Какие алгебраические понятия изучаются в начальном курсе математики? Дайте им определения, выделите их особенности.
2.	Дайте характеристику числовым выражениям и их тождественным преобразованиям.
3.	Какие виды уравнений существуют, приведите примеры способов решения уравнений. Какие из перечисленных видов уравнений изучаются в начальной школе? Дайте характеристику способу решения уравнений, который применяется в начальных классах.
4.	Какие программные требования предъявляются к изучению этих понятий выражение, неравенство, уравнение? 
Задания для самостоятельной работы
1.	Найдите в приведенных ниже записях выражения: 
а+б+7		 с – б 			 25*3–10			 5 < 7
13 +у=20		 (40 – 10)*2		 3*(5+с)			 0,258
2.	Назовите этапы ознакомления с уравнениями в начальных классах. Решите уравнения, используя зависимость между компонентами и результатом арифметических действий, приведите примеры рассуждения детей: x + (60 - 48) = 20; (x + 8) – 13 = 15.
3.	Приготовьте доклады по теме занятия, используя указанные литературные источники.
4.	Внесите в терминологический словарь слова: уравнение, выражение, неравенство.
Литература
1.	Абрамова, О.Г., Моро, М.И. Решение уравнений /О.Г. Абрамова, М.И. Моро //Начальная школа. – 1989. - №9. – С. 78-80.
2.	Альшевская, И.А. Решение уравнений по схемам-опорам /И.А. Альшевская //Начальная школа плюс до и после. – 2008. - №7. – С. 25-26.
3.	Истомина, Н.Б., Редько, З.Б. Организация повторения при изучении темы «Уравнения» в 4 классе /Н.Б. Истомина, З.Б.Редько //Начальная школа. – 2005. - №3. – С. 33-35.
4.	Истомина, Н.Б., Шмырева, Г.В. Методика работы над уравнением /Н.Б. Истомина, Г.В. Шмырева //Начальная школа. – 2003. - №3. – С. 30-32.
5.	Петерсон, Л.Г. Как научить детей решать уравнения /Л.Г.Петерсон //Математика в школе. - 1994. - №3. – С. 8-11.

Практическое занятие № 2
Тема: доли и дроби в курсе в курсе математики начальной школы.
Цель: актуализировать имеющиеся знания по теме занятия, ознакомиться с различными методическими приемами введения понятий доли и дроби в начальных классах.

Теоретическая консультация
	Традиционно принято, что во всех учебниках по математике в начальных классах должна быть проведена подготовка к изучению дробей в V и VI классах. Это значит, что в начальных классах надо создать конкретные представления о доли и дроби. В настоящее время существует большое число новых моделей обучения в начальной школе, каждая из которых имеет свой взгляд на данную тему. Так в системе Л.В. Занкова более широко представлена обыкновенная дробь, а также сложение и вычитание обыкновенных дробей. Этой же позиции придерживается система «Школа 2100» и соответствующая ей программа Л.Г. Петерсон. В системе Эльконина–Давыдова наряду с обыкновенной дробью в 4 классе дети знакомятся с десятичными дробями и с правилами их сложения и вычитания. Несмотря на то, что доли и дроби изучаются практически во всех современных образовательных программах, эта тема до сих пор остается наиболее сложной для учащихся и учителей.
Вопросы для обсуждения
1.	В чем заключается сущность понятий «Доля», «Дробь». Проанализируйте место темы «Доли и дроби» в начальном курсе математики по различным образовательным программам.
2.	 В чем состоит особенность изучения долей и дробей в 3 классе?
3.	В чем состоит особенность изучения дробей в 4 классе?
4.	Какова роль моделирования в процессе сравнения дробей, в процессе решения задач на нахождение доли от числа и числа по его доле?

Задания для самостоятельной работы
1.	Из учебников математики для начальной школы подберите упражнения направленные на формирование понятия доля.
2.	Какие приемы используются для закрепления знаний детей о дроби.
5.	Составьте аннотированный библиографический список журнальных статей по теме занятия за последние три года.
6.	Решите задачу:
	Поликрат (известен из баллады Шиллера, древнегреческий тиран с острова Самос) один раз спросил у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат», - отвечал Пифагор. - «Половина моих учеников изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча совершенствует силу духа, храня в сердце учебу. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит других своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины». Сколько учеников было в Пифагора?
	Переформулируйте задачу так, чтобы ее можно было решить в начальной школе. Смоделируйте условие задачи на отрезке или секторах круга.
7.	Приготовьте мультимедиа презентацию, с помощью которой можно раскрыть суть темы «Доли. Дроби» в начальных классах.
8.	Внесите в словарь терминов слова «дробь», «доля».

Литература.
1.	Марченко, Г.С. Модели различного уровня сложности в конструировании при изучении дробей /Г.С. Марченко //Начальная школа. – 1998. - №5. - С 64-69.
2.	Цукарь, А.Я. Практика и образцы при изучении обыкновенных дробей /А.Я. Цукарь //Математика в школе. - 1994. - №5. - С. 5-8.

Практическое занятие № 3
Тема: элементы геометрии в начальной школе.
Цель: актуализировать знания по теме «Геометрический материал», определить особенности изучения геометрического в начальной школе.
Теоретическая консультация
	Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования, направленный на приобретение конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений; формирование языка описания объектов окружающего мира; развитие пространственного воображения и интуиции, математической культуры; эстетическое воспитание учащихся. Изучение геометрии вносит весомый вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия «доказательство».
	Формирование у детей четких представлений о геометрических фигурах и некоторых их свойствах, о геометрических величинах может быть достигнуто главным образом  на основе практических работ. Поэтому в процессе изучения элементов геометрии велика роль средств обучения. Средства обучения геометрии должны предоставить обучающемуся возможность не только наблюдать предмет изучения, но и действовать с ним, преобразовывать его своими руками в соответствии с поставленной целью, т.е. моделировать.
	Основным средством обучения геометрии, безусловно, являются учебники и тетради на печатной основе, которые выполняют функцию индивидуального дидактического средства.
	Кроме того в классе должны быть модели всех геометрических фигур и объемных тел, циркули, линейки, угольники, транспортиры, палетки.
	У детей должна быть возможность для создания каркасных моделей геометрических фигур, пластилиновых моделей пространственных фигур.
	Очень важно, чтобы в процессе обучения элементам геометрии учитель использовал задания развивающего характера и  задачи на смекалку. Так же очень полезно использовать исторические сведения в процессе знакомства младших школьников с геометрическими понятиями.
Вопросы для обсуждения
1. 	В чем заключаются цели и задачи изучения геометрического материала в начальной школе?
2.	Почему важна практическая направленность при изучении геометрического материала, какими приемами она достигается?
3.	С какими геометрическими понятиями знакомятся младшие школьники?
4.	С какими трудностями сталкиваются обучающиеся при изучении элементов геометрии?
Задания для самостоятельной работы
1.	Используя статьи из журнала «Начальная школа», составьте доклады по теме занятия.
2.	Изготовьте палетку и танграмм, приведите примеры организации работы с этими пособиями.
3.	Составьте беседу об истории возникновения линейки.
4.	На формирование каких УУД направлено выполнение задания обучающимися? 
Прочитай план работы. Выполни (рис. 1).
1)	Отсчитай две клетки вниз от чёрной и обведи их.
2)	Отсчитай две клетки вправо от последней и обведи их.
3)	Обведи последнюю клетку красным цветом.
4)	Отсчитай две клетки вверх от красной, обведи их.
5)	Отсчитай три клетки вниз от красной, обведи их.
6)	Назови букву. Напиши в нижней строке любое слово, которое начинается этой буквы.

								

								

								
								
Рис.1
Литература
1.	Амелина, М.В. Разноуровневые задания на уроках математики при изучении геометрического материала /М.В. Амелина //Начальная школа. - 2010. - №8. - С. 57-59.
2.	Бунеева, Е.В. Диагностика метапредметных и личностных результатов начального образования: Проверочные работы: 1й класс /Е.В. Бунеева, А.А. Вахрушев, С.А. Козлова, О.В. Чиндилова. – Москва: Баласс, 2011. – 80 с.
3.	Гарлавцева, Д.Ю. Геометрический материал в 1 классе как средство развития пространственного мышления учащихся /Д.Ю. Гаркавцева //Начальная школа . – 2006. - №10. - С. 25-31.
4.	Митрохина, С.Ф. Самостоятельная работа по геометрии как средство активизации познавательной деятельности младших школьников /С.Ф. Митрохина //Начальная школа. – 2006. - №3. - С. 37-40.
5.	Николау, Л.Л. Формирование у младших школьников представлений об окружности и круге /Л.Л. Николау //Начальная школа. - 2005. - №6. - С. 70-73.
6.	Носенко, Л.Д. Проблемно-поисковые технологии при изучении геометрического материала /Л.Д. Носенко //Начальная школа. - 2004. - №9. – С. 86-89.
7.	Панчищина, Б.А. Особенности геометрической деятельности младших школьников /Б.А. Панчищина //Начальная школа.- 2006. - №2. - С. 75-77.
8.	Подходова, Н.С. Современные стандарты: геометрическая линия в начальной школе /Н.С. Подходова //Начальная школа. – 2014. - №6. - С. 43-53.

Раздел III. Методика изучения величин в курсе математики начальной школы
Практическое № 1
Тема: изучение основных величин в начальной школе
Цель: сформировать теоретические знания по теме «Величины и их измерение». Углубить знания о содержании тем «Длина», «Площадь», «Масса и вместимость» и методики их преподавания в начальной школе.
Теоретическая консультация
	Формирование представлений о той или иной конкретной величине и способах ее измерения имеет свои особенности, тем не менее целесообразно выделить следующие общие этапы, которые имеют место при изучении каждой из величин и ориентируясь на которые учитель организует деятельность учащихся.
	Н.Б. Истомина предлагает следующую последовательность изучения величин в начальной школе:
1.	Выяснение и уточнение имеющихся у детей представлений о данной величине (обращение к опыту ребенка).
2.	Сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путем использования различных мерок).
3.	Знакомство с единицей измерения данной величины и с измерительным прибором.
4.	Формирование измерительных умений и навыков.
5.	Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования (в связи с решением задач).
6.	Знакомство с новыми единицами величины в тесной связи с изучением нумерации по концентрам, перевод однородных величин, выраженных в единицах одних наименований, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.
7.	Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований, и наоборот.
8.	Умножение и деление величины на число.
	С целью формирования представлений о разного рода величинах проводятся практические работы, используются упражнения, применяются демонстрационные  индивидуальные наглядные средства, при этом варьируются коллективные, индивидуальные и групповые формы работы на уроке. Обучающиеся усваивают основные признаки понятия «величина» в процессе выполнения различных практических заданий познавательного характера при широком использовании проблемных ситуаций.
	Знакомство с величинами и единицами их измерения имеет не только практическое значение: оно предоставляет большие возможности для формирования умения видеть проблему и находить пути ее решения, тем самым способствуя развитию познавательных способностей учащихся.
Вопросы для обсуждения
1.	Как вы понимаете термины «величина», «числовое значение величины»?
2.	Какие величины изучаются в начальных классах? Что такое геометрические величины?
3.	Какие действия можно выполнять с величинами?
4.	Каковы особенности формирования представлений о величинах длина, площадь, масса, вместимость? В каком классе изучаются эти величины?
5.	Проанализируйте методы, приемы и средства, используемые при изучении  тем «Длина отрезка», «Площадь прямоугольника», «Масса, вместимость».

Задания для самостоятельной работы
1.	На какие имеющиеся у ребенка знания должен опираться учитель, организуя изучение величин: длины, массы, площади, времени, емкости (объема). Выбрать из учебников математики задания, которые связаны с выявлением необходимых представлений у учащихся.
2.	Введению единиц величин предшествует работа по использованию различных мерок. Выполняя эту работу, учащиеся усваивают способ измерения и осознают необходимость введения общепринятой единицы изучаемой величины. Спланируйте различные виды практических работ на этапе введения единиц длины, массы, площади: использование мерок, ознакомление с единицей величины, измерительным прибором
3.	Составьте фрагменты урока знакомства с величинами «Длина», «Масса и вместимость», пользуясь современными учебниками. Подготовьте необходимую наглядность.
4.	Пользуясь методическими пособиями, подберите познавательный материал, который можно использовать при изучении величин длина, масса, вместимость (беседы, дидактические игры, загадки, кроссворды, олимпиадные задания и т.д.).
5.	Внесите в словарь терминов определения понятий «величина», «единица измерения величин», «именованные числа».
Литература
1.	Ефимов, В.Ф. О формировании отношений «длиннее», «короче» в условиях гуманизации обучения /В.Ф. Ефимов //Начальная школа. – 2003. - №8. – С. 30-34.
2.	Ткачев, А.П. О моделировании при изучении величин в начальных классах /А.П. Ткачев //Начальная школа.– 2006. - № 11. – С. 81-82.
3.	Урбан, М.А. Изучение массы и системы единиц измерения массы на основе общей для группы основных величин модели /М.А. Урбан //Начальная школа. - 2009. - №11. - С. 22-28.
4.	Царева, С.Е. Как рождается величина /С.Е. Царева //Начальная школа. - 2000. - №6. - С. 105-111.
5.	Царева, С.Е. Величины в начальном обучении математике: Учеб. пособие /С.Е. Царева. – Новосибирск: Изд-во НГПУ, 2001. – 448 с.
6.	Шикова, Р.Н. К вопросу об изучении величин в начальной школе /Р.Н. Шикова //Начальная школа. – 2006. – №5. – С. 48-53.

Практическое занятие № 2
Тема: особенности изучения темы «Время и его измерение». 
Цель: актуализировать знания о содержании темы «Время и его измерение». Познакомиться с особенностями формирования временных представлений у младших школьников.
Теоретическая консультация
	Понятие величины широко применяется не только в математике, но и в физике, химии, биологии, астрономии и других науках. В школе это понятие используется не всегда корректно: считаются синонимами термины «величина» и «количество», смешивают термины «величина» и «значение величины», говорят о «величине величины», когда, например, для характеристики площади фигуры применяют словосочетание «величина площади» и т. д. 
	Объясняется это тем, что понятие величины не является чисто математическим. Применение его во многих отраслях науки привело к разночтению, употреблению его в различных смыслах. В методике начального обучения математике понятие величины долгое время связывали с понятием «именованное число». Причем считали, что понятие величины уже известно из повседневной жизни, а его свойства очевидны. В курсе методики преподавания математики ограничивались указанием наиболее характерных упражнений для различных классов величин. Это приводило к смешению понятия величины с понятием меры (числа, выражающего величину после выбора некоторой единицы измерения). 
	В естественных науках под величинами понимают определенные свойства физических тел. Некоторые величины (длину, площадь, объем, массу, время, скорость, цену, стоимость) изучают в курсе математики начальной школы. 
	В математике на вопрос «Что такое величина?» ответа в виде определения («величиной называется...») нет. Однако с помощью исходных свойств, характеризующих величины, строится вся теория величин.
Вопросы для обсуждения
1.	Какие требования к организации практической деятельности нужно соблюдать, чтобы избежать “формального введения единиц величин”?
2.	Почему изучение величин происходит в тесной связи с изучением нумерации?
3.	Определите основные задачи изучения темы «Время и его измерение».
4.	Проанализируйте подготовительную работу по изучению этой темы.
5.	Какие трудности и почему испытывают учащиеся в процессе усвоения понятий о величине «время» и выполнения действий с именованными числами, выраженных в единицах различных наименований?
Задания для самостоятельной работы
1.	Подготовьте мультимедиа презентацию, расширяющую знания о времени и его измерения, отражающую вопросы исторического характера. 
Цель: разъяснить обучающимся значение времени в жизни людей, объяснить в доступной форме появление мер времени (сутки, год, неделя, месяц), выяснить знания детей о соотношении единиц времени.
2.	Подберите или составьте сами дидактические игры для закрепления навыков определения времени по часам. Подготовьте необходимые наглядные пособия.
3.	Составьте фрагмент урока усвоения соотношения единиц времени и действий с ними.
Литература
1.	Михайлова, О.И., Бондаренко В.Р. Материал к изучению темы «Меры времени» /О.И. Михайлова //Начальная школа. – 1990. - №1. – С. 32-35.
2.	Тихоненко, А.В. Изучение мер времени /А.В. Тихоненко //Начальная школа. – 1998. - №1. - С. 94-102.
3.	Тонких, А.П. Именование числа в курсе математики факультетов подготовки учителей начальных классов /А.П. Тонких //Начальная школа плюс до и после. – 2003. - №1. – С. 72-79.
4.	Шмырева, Г.Г., Нестерович, С.М. Обобщающие уроки по теме “Величины”. Из опыта /Г.Г. Шмырева, С.М. Нестерович //Начальная школа. - 2000. - №3. - С. 33-38.

Практическое занятие № 3
Тема: изучение величины скорость в начальных классах. Моделирование на уроках знакомства с величинами. Современные технологии обучения младших школьников.
Цель: познакомиться с различными методами и приемами, способствующими осознанному усвоению учащимися представлений о величине «скорость». 
Теоретическая консультация
	Скорость — одно из ключевых понятий  физики, химии, биологии, других областей знания. Со свойствами процессов, событий, явлений, обозначенных словом "скорость", мы встречаемся каждодневно. Наша жизнь устроена так, что все происходящее  с нами происходит во времени и с определенной скоростью. С начала своего существования мы "обречены" на встречу с теми сторонами мира, знание о которых хранится человечеством в понятии скорость. Попробуем разобраться  в его сущности.
	Скорость – это одна из величин, характеризующих изменения во времени. 
	При ходьбе меняется положение идущего относительно  места, с которого он начал движение или с которого нас начало интересовать это движение.  Изменяется при этом и длина пройденного пути: она увеличивается. При чтении увеличивается количество прочитанных слов. При еде меняется количество съеденной пищи. Количество изменения может быть оценено по разным основаниям и в разных единицах: изменение положения движущегося относительно земли тела — по длине пути в метрах, километрах, в шагах и т. д.; изменения при еде — в "штуках" (если речь идет, например, о яблоках), в порциях, в граммах, в «ложках», в единицах объёма — в стаканах, ложках, литрах и других единицах, в калориях. Можно поэтому говорить о скорости  ходьбы, скорости чтения, скорости еды.
	Известно, что скоростью характеризуются также химические реакции, речь,  процессы старения, рост ребенка, мыслительные процессы, выполнение той или иной работы (в этом случае скорость называют новым именем — производительностью труда), и многое, многое другое.
	По скорости, как и по другим величинам, можно сравнивать протекающие во времени процессы. Однако есть существенные различия в способах непосредственного сравнения объектов по скорости и способах непосредственного, прямого сравнения большинства других величин, изучаемых в школьном курсе математики. Скорость — величина, производная от двух величин: величины изменения и времени этого изменения. Непосредственное сравнение скорости — это непосредственное сравнение «количеств изменения» и непосредственное сравнение времени.
	Известно, что при количественном сравнении (т. е. установлении отношений больше, меньше) обязательно выделение основания сравнения – признака, свойства. Скорость является одним из свойств, которое может быть основанием для установления отношений равно, больше, меньше между процессами, явлениями. В речи такие  отношения между скоростями обычно выражаются словами быстрее, медленнее, с той же скоростью.
	При описании скорости равномерного механического движения, равно как и при описании средней скорости  неравномерного движения, достаточно указать два числа: числовое значение длины пройденного пути, короче – длину пути и числовое значение промежутка времени, за который этот путь был пройден, короче – время движения.
	Отсюда следует, что выражение «скорость автомобиля (скорость движения автомобиля) 60 км/ч» не означает (как часто считают учащиеся), что автомобиль обязательно проехал или проезжает 60 км за один час. Это означает лишь, что отношение длины пройденного пути к времени, за которое этот путь был преодолен, равен отношению шестидесяти километров к одному часу: 60 км за 1 ч. Автомобиль же может двигаться с данной скоростью и меньше часа, и больше часа, вообще, любое другое количество времени, не обязательно равное единице или целому числу часов. 
	Сказанное не означает, что краткая языковая форма должна быть запрещена. Да и исключить из речи краткое, но не совсем точное выражение некоторого смысла невозможно. Однако пользователи этой формы должны знать истинный смысл соответствующих выражений и уметь в случае непонимания развернуть полноценную характеристику соответствующего понятия.
	Выше приведены рассуждения, объясняющие, почему принято количественную характеристику скорости давать через отношение количества изменения к времени, за которое это изменение произошло. Между тем, иногда скорость характеризуют и через отношение времени к количеству изменения, которое произошло за это время. Этот способ чаще используют в случаях, когда речь идет не о механическом движении.
Вопросы для обсуждения
1.	Каковы основные цели и задачи изучения данной темы? 
2.	В каком классе изучается величина скорость?
3.	В чем заключаются особенности нахождения средней скорости, скорости сближения, скорости удаления.

Задания для самостоятельной работы
1.	Найдите в учебниках математики иллюстрации, которые знакомят учащихся со скоростью движения различных тел. Какие задания предлагаются в учебниках в связи с анализом этих иллюстраций?
2.	Составьте за ученика начальных классов синквейн и кластер на тему «Скорость». Подумайте, как эту работу можно организовать в классе.
3.	Решите задачу за учащегося начальной школы. Запишите условие двумя способами – в виде таблицы и чертежом. Составьте обратную задачу.
Из двух городов выехали одновременно навстречу друг другу два мотоциклиста. Один из них двигался со средней скоростью 70км/ч и проехал до встречи 140км, а другой двигался со средней скоростью 65км/ч. Найдите расстояние между городами.
4.	Решите олимпиадную задачу за обучающегося начальных классов.
	Из пунктов А и В, расстояние между которыми 100 км, со скоростями 20 км/ч и 30 км/ч выезжают навстречу друг другу два велосипедиста. Вместе с ними со скоростью 50 км/ч вылетают две мухи, летят до встречи, поворачивают и летят обратно до встречи с велосипедистами, снова поворачивают и т.д. Сколько километров пролетит каждая муха в направлении от А до В до того момента, когда велосипедисты встретятся?	
Литература
1.	Зайкин, М.И., Пчелин, А.В. Power Point помогает решать задачи на движение /М.И. Зайкин, А.В. Пчелин //Начальная школа. – 2009. - № 8. – С. 15-18.
2.	Рудницкая, В.Н. Формирование у школьников понятия “скорость” /В.Н.Рудницкая //Начальная школа. - 1993. - №1. – С. 40-42.
3.	Фарсиян, Ж.С. Межпредметные связи в процессе обучения решению задач на движение /Ж.С. Фарсиян //Начальная школа. - 2008. - №11. – С. 85-87.
4.	Царева, С.Е. Понятие «скорость» в методико-математической подготовке будущих учителей /С.Е. Царева //Начальная школа. - 2002. - № 11. - С. 22-31.
5.	Шикова, Р.Н. Методика обучения решению задач, связанных с движением тел /Р.Н. Шикова //Начальная школа. - 2000. - № 5. - С. 30-37.

Раздел IV. Решение задач в начальной школе
Практическое занятие № 1
Тема: обучение младших школьников решению задач 
Цель: познакомиться с сюжетной задачей как целью и средством обучения, структурой, классификацией задач. Научится проводить семантический анализ текста задачи.
Теоретическая консультация
	В начальном курсе математики понятие «задача» используется тогда, когда речь идет о текстовых, арифметических задачах. Они обычно формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. 
	К основным признакам текстовой задачи относят (А.А. Свечников): 
• словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу; 
• числовые значения величин или числовые данные, о которых говорится в тексте задачи; 
• задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин; эти значения называют искомыми.
	Термин «решение задачи» в научно-методической литературе употребляется в трех разных смыслах: 
1) решение задачи - ответ на вопрос, результат выполнения арифметических или других действий; 
2) решение задачи - это выполнение действий, которые в итоге дают значение искомой величины; 
3) решение задачи - это догадка о том, какие нужны действия и в какой последовательности их нужно выполнять (если их несколько), чтобы получить значение искомой величины (способ и метод решения). 
	В начальном курсе математики используются следующие методы решения задач: 
• практический (дети действуют непосредственно либо с реальными объектами, либо с предметными моделями или изображениями этих объектов и находят ответ на требование задачи с помощью наблюдения, сравнения (измерения), счета); 
• графический (обучающиеся используют числовой луч, чертежи, где изображения осуществляются в натуральную величину или в масштабе, а ответ на требование задачи получается нахождением соответствующих точек на луче, счетом и измерением искомой величины на графической модели); 
• арифметический (нахождение ответа задачи посредством выполнения арифметических действий над числами); 
• алгебраический (обучающиеся составляют простейшие уравнения и, решая их, находят ответ на требование задачи); 
• логический (дети выстраивают цепочку рассуждений, приводящих к искомому заключению); 
• комбинированный (используется сочетание различных методов). 
	Следует различать понятия «различные методы решения задачи» (арифметический, алгебраический и др.), «различные способы решения задачи» и «различные способы записи решения задачи». Последнее относится к форме выполнения решения (например, для арифметического решения - это запись по действиям, выражением, с пояснениями). Если речь идет о разных способах решения, то имеется ввиду возможность установления различных связей между данными и искомым, а следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи. 
	В практике обучения школьников процесс решения задачи обычно включает в себя следующие этапы (Л.П. Стойлова): 
I. ознакомление с содержанием и осмысление задачи; 
II. поиск и составление плана решения; 
III. запись решения и ответа (осуществление плана);
IV. проверка решения задачи. 
Вопросы для обсуждения
1.	Дайте определение термину «задача». Какова структура задачи. 
2.	В чем заключаются обучающая, развивающая и воспитывающая функции текстовых задач?
3.	Какие классификации задач существуют?
4.	В чем состоят особенности семантического анализа текста задачи?
5.	Какие действия входят в общее умение решать задачу?
Задания для самостоятельной работы.
1.	Чтобы научить школьников решать задачи, учителю самому необходимо владеть этим умением. Решите задачи всеми возможными методами (арифметическим, алгебраическим, практическим, графическим, комбинированным или табличным). Какие из них могут использовать младшие школьники? 
	У матери два сына. У нее спросили: «Сколько лет твоим сыновьям?» Она ответила: «Сейчас один из них вдвое старше другого, а год назад он был втрое старше. Догадайтесь сами, сколько лет моим детям».
	Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов. На каждую тетрадь первого сорта расходовали по 8 листов, а на каждую тетрадь второго сорта – по 12 листов. Сколько сделали тетрадей каждого сорта?
	В парке за 3 дня посадили 210 деревьев. Сколько деревьев было высажено каждый день, если в первый день высадили в 2 раза меньше чем во второй, а в третий на 10 больше чем в первый день.
	Дочери 8 лет, а матери -38 лет. Через сколько лет мать будет вдвое старше дочери?
3.	В учебниках математики для начальной найдите задачи с трансформированным текстом. На каком этапе обучения решению текстовых арифметических задач необходимо проводить работу с такими задачами.
4.	Подготовьте краткие доклады по теме занятия.
5.	Внесите в словарь терминов слова: задача, метод, прием. 
Литература
1.	Зиновьев, П. М. Решение задач методами предположения /П.М. Зиновьев// Начальная школа. – 2003. - № 10. – С. 59-63.
2.	Комарова, В.А. Формирование умения решать задачи в начальной школе /В.А. Комарова //Начальная школа. – 2007. - №1. – С. 66-68. 
3.	Мамыкина, М.Ю. Работа над задачей. Система Л.В. Занкова /М.Ю. Мамыкина //Начальная школа. – 2003. - № 4. – С. 63-68.
4.	Матвеева, Н.А. Методические приемы обучения составлению текстовых задач /Н.А. Матвева //Начальная школа. – 2003. - № 6. – С. 41-44.
5.	Овчинникова, В.С. Как обучать младших школьников чтению текстовой задачи /В.С. Овчинникова //Начальная школа. – 2014. - №5. – С. 55-61.
6.	Фридман, Л.М. Обучение решению сюжетных задач /Л.М. Фридман //Начальная школа. - 2000. - №6. - С. 35-38.
7.	Халидов, М.М., Мукина, В.М. Теория и практика обучения младших школьников решению математических задач /М.М. Халидов, В.М. Мукина //Начальная школа. – 2006. - №9. – С. 54-61. 
Практическое занятие № 2
Тема: знакомство с простой и составной задачей. 
Цель: изучить приемы работы над простой и составной задачей. Ознакомиться с приемом моделирования как обобщённым приемом работы над задачей.
Теоретическая консультация
	Все многообразие методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач, целесообразно рассматривать с точки зрения двух принципиально отличающихся друг от друга подходов. Один из них нацелен на формирование у учащихся умения решать задачи определенных типов (видов). Цель другого подхода - научить детей выполнять семантический и математический анализ текстовых задач, выявлять взаимосвязи между условием и вопросом, данными и искомым и представлять эти связи в виде схематических и символических моделей, т.е. формирование общего умения решать задачи. 
	Методика работы с задачей в первом - частном - методическом подходе сориентирована на три ступени: подготовительная, ознакомительная, закрепление. Обучение умению решать задачи определенных видов включает в себя усвоение детьми сведений о видах задач, способах решения задач каждого вида и выработку умения решать задачи соответствующих видов, выбирать способы решения, адекватные виду задачи, применять эти способы к решению конкретных задач. 
	Обучение общему умению решать задачи во втором – общем – подходе предполагает формирование знаний о задачах, методах и способах решения, приемах, помогающих решению, о процессе решения задачи, этапах этого процесса, назначении и содержании каждого этапа; выработку умения расчленять задачи на составные части, использовать различные методы решения, адекватно применять приемы, помогающие понять задачу, составить план решения, выполнить его, проверить решение, умения выполнять каждый из этапов решения. 
Вопросы для обсуждения
1.	Каковы особенности работы над простой задачей в начальных классах.
2.	Какие методические приемы работы над составной задачей используются в начальной школе?
3.	Какие формы оформления решения задачи существуют в начальных классах?
4.	Какие способы могут быть использованы младшими школьниками для проверки решения текстовых задач? Оцените степень надежности каждого способа. Можно ли какой-либо из способов считать универсальным?
5.	Каковы основные виды моделей, используемых в начальном курсе математики при решении задач? В чем заключаются особенности каждого вида моделей, каковы основные требования к их построению?
Задания для самостоятельной работы
1.	Рассмотрите классификацию простых задач, предложенную в учебном пособии Бантовой, М.А., Бельтюковой, Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах/М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. – Москва: Просвещение, 1984. - С.198-199. Какое основание у данной классификации? Найдите в учебниках математики для начальной школы примеры задач каждого вида. Обоснуйте последовательность включения в содержание курса математики задач каждого вида. 
2.	Не случайно говорят - «учи только тому, что умеешь сам». Прочитайте несколько задач из учебника математики для начальной школы, соблюдая основные требования к правильному чтению. Придумайте проблемные ситуации, которые могут быть созданы для того, чтобы учащиеся осознали роль правильного чтения в понимании текста задачи. 
3.	На примере задачи: «В портфеле 14 тетрадей. Из них 9 в клетку, остальные в линейку. Сколько тетрадей в линейку лежат в портфеле?» постройте все возможные модели, которые могут использовать младшие школьники.
4.	Представьте условие задачи в виде модели. Оформите запись решения задачи по действиям с пояснением.
Мотоциклист за три дня проехал 980км. За первые два дня он проехал 725км, при этом во второй день проехал на 123км больше, чем в третий день. Сколько километров он проехал в каждый из этих дней.
Литература
1.	Буренкова, Н.В. Использование знаково-символических средств при обучении младших школьников решению задач /Н.В. Буренкова //Начальная школа плюс до и после. – 2013. - № 10. – С. 47-52.
2.	Гаврикова, О.В. Формирование универсальных учебных действий при обучении решению арифметических задач /О.В. Гаврикова //Начальная школа. - 2011. - №8. - С. 46-49.
3.	Левитас, Г.Г. Решение текстовых задач с помощью уравнений /Г.Г. Левитас //Начальная школа. - 2001. - №1.- С. 76-79.
4.	Никифорова, Е.Ю.Активизация мыслительной деятельности в процессе работы над задачей /Е.Ю. Никофорова //Начальная школа. - 2008. - №8. - С. 42-47.
5.	Пичугин, С.С. Графическое моделирование в работе над текстовой задачей /С.С. Пичугин //Начальная школа. – 2009. - №5. – С. 41-45.
6.	Селькина, В.Л. Методические подходы к формированию представлений о задаче, решаемой в несколько действий /В.Л. Селькина //Начальная школа. – 2013. - №6. – С. 63-70.
7.	Скворцова, С.С. Урок на тему «Составная задача» /С.С. Скворцова //Начальная школа. - 2008. - №8.- С.52-54.
8.	Шмырева, Г.Г., Нестерович, С.М. Работа со схемой в ходе подготовки к решению задач /Г.Г. Шмырева, С.М. Нестерович //Начальная школа. - 2007. - №8. – С. 46-50.

Практическое занятие № 3
Тема: методика обучения решению задач на пропорциональную зависимость между величинами.
Цель: конкретизировать вопросы общей методики обучения решению задач.  Ознакомиться с особенностями задач на пропорциональную зависимость и их местом в программе начальной школы. 
Теоретическая консультация
	В начальном курсе математики выделяют 4 группы задач на пропорциональную зависимость между величинами:
1 группа - задачи на нахождение четвертого пропорционального;
2 группа - на пропорциональное деление;
3 группа - на нахождение неизвестного по двум разностям;
4 группа - задачи на движение.
	Обучение решению задач данных типов осуществляется поэтапно:
I этап - неявное знакомство с пропорциональной зависимостью в процессе решения задач, раскрывающих смысл умножения и деления.
	Основные приемы:
• изменение одного из данных задачи;
• сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных;
• схематическое моделирование и запись задачи в таблице;
• анализ текстов задач с недостающими и избыточными данными.
II этап - формирование представлений о пропорциональных величинах.
	Основной прием: составление и заполнение таблиц.
	Последовательность оформления выделенных величин подчиняется определенной логике, которая связана с идеей описания процесса измерения величин:
1) выбирается величина, которая обозначается за единицу измерения;
2) выбирается число, связанное с определением: сколько раз единичная величина укладывается;
3) выделяется общая величина.
	Основной прием при ознакомлении с пропорциональными величинами - противопоставление. Можно использовать два подхода, которые характеризуют различные виды противопоставления:
1. последовательное противопоставление - предполагает изучение задач соответствующих видов друг за другом; причем каждый новый вид задач рассматривается в сравнении с ранее изученным и выделяются отличительный признаки задачи каждого нового вида.
	Данный подход чаще используется при реализации частного методического подхода при обучении решению задач.
2. перемеживающееся (параллельное) противопоставление - предполагает решение задач различного вида на одном уроке или отрезке времени одновременно. Данный прием наиболее эффективен для развития обучающихся, он дает представление об общем способе решения задач на пропорциональную зависимость и чаще всего реализуется в общем методическом подходе при обучении решению задач.
Вопросы для обсуждения
1.	Какие группы задач относятся к задачам на пропорциональную зависимость? Что объединяет эти группы? Чем отличаются основные виды задач в группах? Зачем учитель должен уметь распознавать задачи каждой группы и их конструировать?
2.	В чем заключается подготовительная работа к введению задач на пропорциональную зависимость? Какой факт должны осознать учащиеся в ходе обучения на данном этапе (укажите соответствующие методические приемы)?
3.	Каковы особенности формирования общих умений при работе с задачами на пропорциональную зависимость (умения анализировать текст, моделировать, составлять план решения и др.)?
Задания для самостоятельной работы
1.	Прочитайте задачу. Решите ее разными арифметическими способами. 
На швейной фабрике мастер сшил одинаковые пальто израсходовав на них 24м ткани. Его ученица сшила 2 таких же пальто и израсходовала на них 6 м ткани. Сколько всего пальто сшили мастер и ученица? 
• Спланируйте фрагмент организации деятельности учащихся в процессе работы над данной задачей, используя приемы: изменение условия и вопроса; поиск разных способов решения (в том числе при помощи схемы). 
• Составьте все возможные вопросы, на которые можно ответить, пользуясь условием данной задачи. 
2.	Решите задачу. Смоделируйте условие задачи в виде таблицы. Определите вид задачи.
В мастерской 140 мониторов. Один мастер отремонтирует из за 70 дней, а другой за 28 дней. За сколько дней оба мастера отремонтируют эти мониторы, если будут работать вместе?
Определите цель сравнения каждой пары задач. Какие виды задач сравниваются?
а) На пошив 8 одинаковых пальто израсходовано 24 м ткани. Сколько ткани потребуется на 2 таких же пальто?
На пошив 8 одинаковых пальто израсходовано 24 м ткани. Сколько ткани потребуется на 6 таких же пальто?
б) На пошив 8 одинаковых пальто израсходовано 24 м ткани. Сколько ткани потребуется на пошив 2-х таких же пальто?
Мастер сшил 8 одинаковых пальто, а его ученица 2 таких же пальто. Сколько ткани израсходовал каждый из них, если мастер потратил на 24 м ткани больше?
в) Мастер сшил 8 одинаковых пальто, а его ученица 2 таких же пальто. Сколько ткани израсходовал каждый из них, если мастер потратил на 30 м ткани больше?
Мастер сшил 8 одинаковых пальто, а его ученица 2 таких же пальто. Вместе они израсходовали 30 м ткани. Сколько ткани израсходовал каждый из них?
г) Масса 8 одинаковых ящиков с фруктами равна 24 кг. Какова масса 2-х таких ящиков с фруктами?
На пошив 8 одинаковых пальто израсходовано 24 м ткани. Сколько ткани потребуется на пошив 2-х таких же пальто?
Подберите задачи, которые можно предложить учащимся для сравнения с этими же целями.
Литература
1.	Казько, Е.С. Работа над текстом задачи с пропорциональными величинами /Е.С. Казько //Начальная школа. - 1998. - №5. - С. 70-73.
2.	Марушенко, Л.Ю. Функциональный подход к решению текстовых задач на прямо пропорциональную зависимость /Л.Ю. Марушенко //Начальная школа. - 2007. - №7. - С. 44-48.
3.	Попова, Е.А. Работа с таблицами при обучении младших школьников решению задач на процессы /Е.А. Попова //Начальная школа. - 2009. - №10. - С. 42-46.
4.	Абушаева, З. М. Технология обучения студентов решению текстовых задач на пропорциональную зависимость /З.М. Абушаева //Начальная школа. - 2003. - №10. - С. 69-73.

Практическое занятие № 3
Тема: использование нестандартных задач на уроках в начальной школе.
Цель: изучить особенности организации деятельности учащихся в процессе работы над нестандартной задачей.
Теоретическая консультация
	В Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования отмечено, что одним из метапредметных результатов освоения основной образовательной программы является освоение способов решения проблем творческого и поискового характера. Одной из основных задач реализации предметной области математика является развитие воображения. 
	Решение проблем творческого характера, использование при этом воображения, делает человека более социализированным. Такой человек быстрее адаптируется к всевозможным условиям жизни, находит нестандартные решения многих возникающих проблем, способен адекватно оценить свои результаты.
	Широкие возможности в воспитании такого человека открывает решение нестандартных задач на уроках математики в начальной школе. Нестандартные задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы мышления и способствует развитию воображения.
	Л.М. Фридман определяет нестандартную задачу – как задачу, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, т.е. ученики не знают заранее ни способов ее решения, ни того на какой учебный материал опирается решение.
	Н.А. Зайцев отмечает, что в настоящее время учебники перегружены скучными, неинтересными задачами. Что необходимо использовать в обучении нестандартные задачи, которые ближе, понятнее, интереснее детям.
	Безусловно, «неинтересные» задачи необходимы в обучении младших школьников математике. Также следует отметить, что по сравнению с прошлым веком в учебниках по математике появилось много нестандартных задач. Но единой системы их использования на уроках математики до сих пор нет. Чаще учителя предпочитают работать с такими задачами на факультативах по математике, во внеурочной работе.
	По мнению некоторых учителей-практиков, хотя и нет универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, при обучении можно следовать тем же педагогическим условиям, что и при работе со стандартными задачами.
	Учитель, используя свой педагогический опыт, оценивая уровень развития класса в целом и каждого из учащихся в отдельности, должен стараться отбирать интересные задачи, делать их привлекательными для школьников. Начинать работу по обучению решению нестандартных задач следует вести систематически, начиная с первого класса.
	В работе над нестандартной задачей имеет смысл использовать памятки, например предложенную Е.Е. Останиной:
Памятка по решению нестандартных арифметических задач
Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:
1) сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задачи;
2) ввести вспомогательный элемент; 3) использовать для решения задачи способ подбора; 
4) переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной, знакомой;
5) разделить условие или вопрос задачи на части и решить ее по частям;
6) начать решение задачи с конца.
Вопросы для обсуждения
1.	Какие задачи можно отнести к нестандартным?
2.	Какие условия необходимо соблюдать, для того чтобы обучение решению нестандартных задач было эффективным?
3.	Можно ли выделить определенные виды нестандартных задач?
Задания для самостоятельной работы
1.	Решите задачи. В каком классе можно предложить детям такие задачи? Какие методы решения вы использовали?
	Рыбака спросили: «Сколько ты поймал?» - он ответил: «Шесть без головы, девять без хвоста и половину восьми». Сколько рыб поймал рыбак?
	Шли сто мышей. Первая мышь несла один грош, вторая - два, третья - три..., девяносто восьмая - 98, девяносто девятая - 99, сотая - сто грошей. Сколько грошей несли сто мышей?
	Муравей оказался в колодце глубиной 30м. За день он поднимался на 18м, а за ночь спускался на 12м. Сколько дней понадобится муравью, чтобы выбраться?
	В гараже 750 грузовых и легковых автомобилей. У грузовых машин – 6 колес, а у легковых 4 колеса. Сколько машин в гараже, если всего 3024 колеса?
	Сыну 10 лет, а отцу 36 лет. Чрез сколько лет сын будет младше отца вдвое?
	В нашем лесу каждый занимается своим делом: одни плетут корзины, другие ловят рыбу. Ремеслу мы научились друг у друга. Кот учился у Выдры, Еж у Зайца, Лиса – у Волка, а Мышь у Ежа. Бобер учил Волка и Выдру, Заяц – Белку, а Барсук – Зайца. Бобер был учеником Медведя, а Еж – учителем Дятла. Лучше всех плел корзины Еж. Чем занимались Заяц, Дятел, Волк и Лиса? Кто из зверей нашего леса раньше всех научился ловить рыбу, а кто плести корзины?
2.	Пользуясь литературой, составьте доклады на темы:
•	Нестандартный урок математики
•	Нестандартные формы организации урока математики
•	Решение нестандартных задач
Литература
1.	Ассонова, В. А. , Ассонова, Н. В. Решение задач методом перебора в курсе математики 1-2 классов /В.А. Ассонова //Начальная школа. – 2007. - № 10. – С. 32-36.
2.	Гайнуллова, Ф.С., Шикова. Р.Н. Использование текстовых задач с экологическим содержанием в начальных классах /Ф.С. Гайнуллова //Начальная школа. – 2007. - № 10 – С. 36-41.
3.	Гороховская, Г.Г. Решение нестандартных задач – средство развития логического мышления младших школьников /Г.Г. Гороховская //Начальная школа. – 2009. - № 7. – С. 113-115.
4.	Дроботенко, Н.М. Нестандартный урок математики по теме «Решение задач разными способами» /Н.М. Дроботенко //Начальная школа. – 2005. – № 1. - С. 58-61.
5.	Михалина, С.А. Веселые задачи /С.А. Михалина //Начальная школа. - 2007. - № 9. – С. 102-103.
6.	Останина, Е.Е. Обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач /Е.Е. Останина //Начальная школа. - 2004. - № 7.– С. 36-40.
7.	Полончук, О.Г. Рифмованные задачи /О.Г. Полончук //Начальная школа. – 2007. - №3. - С. 52-57.
8.	Сергеева, Д.А. Нестандартные арифметические задачи — одно из средств формирования исследовательских умений /Д.А. Сергеева //Начальная школа. – 2013. - № 11. - С. 62-65.
9.	Тонких, А.П. Нестандартные и занимательные задачи в курсе математики факультета подготовки учителей начальных классов /А.П. Тонких //Начальная школа. – 2004. - № 8. - С. 95-103.
10.	Царева, С.В. Нестандартные виды работы с задачами на уроке как средство реализации современных педагогических концепций и технологий /С.В. Царева //Начальная школа. – 2004. – № 4. – С. 49-56.
11.	Шестакова, М.А. Задачи в стихах на тему «Ты и твое здоровье» /М.А. Шестакова //Начальная школа. - 2007. - № 11. - С. 80-82.

Интерактивные методы и приемы обучения на уроках математики
Ребёнок не устаёт от работы,
которая отвечает его функциональным
жизненным потребностям.
 С. Френе
	Особую роль интерактивные методы обучения играют в начальном курсе математики, ведь именно они эффективнее, чем другие методы, способствующие интеллектуальному, социальному и духовному развитию ученика. Интерактивные методы на уроках математики ориентированы на:
1) развитие мышления школьников, определенной самостоятельности мысли: побуждают учеников к высказыванию своих соображений, стимулируют выработку творческого отношения к любым выводам, правилам и т.п. Некоторые из них («работа в парах», «работа в группах», «карусель» и др.), направленные на самостоятельное осмысление материала, помогают задуматься, исследовать факты, анализировать алгоритмы решений, понимать их суть, проверить и себя и своего товарища, найти ошибку;
2) развитие сопротивления внушению мыслей, образцов поведения, требований других: побуждают учеников к отстаиванию своего мнения, создают ситуацию дискуссии, столкновение мнений. Применение  интерактивных методов учит детей противостоять давлению большинства, отстаивать свое мнение. Из-за столкновения взглядов учащиеся постигают суть, причины действий, поступков;
3) выработка критического отношения к себе, умение видеть свои ошибки и адекватно относиться к ним способствуют развитию таких умений, как видеть положительное и отрицательное не только в действиях товарищей, но и в собственных; сравнивать себя с другими и тщательно себя оценивать;
4) развитие стремления к нахождению лучших вариантов решения учебных задач;
5) развитие умения находить совместные решения с одноклассниками, на повышение интереса школьников к изученному материалу.
	Интерактивный («Intеr» - это взаимный, «act» - действовать) - означает взаимодействовать или находится в режиме беседы, диалога с кем-либо. Другими словами, интерактивные методы обучения - это специальная форма организации познавательной и коммуникативной деятельности, в которой обучающиеся оказываются вовлеченными в процесс познания, имеют возможность нанимать и рефлектировать по поводу того, что они знают и думают. Место учителя в интерактивных уроках зачастую сводится к направлению деятельности учащихся на достижение целей урока. Он же разрабатывает план урока (как правило, это совокупность интерактивных упражнений и заданий, в ходе работы над которыми ученик изучает материал).
	Интерактивные методы условно можно разделить на четыре группы: групповое обучение, фронтальное, обучение в игре, обучение дискуссии.
	Групповая учебная деятельность – это форма организации обучения в малых группах. Такое обучение открывает для учащихся возможности сотрудничества со сверстниками, дает возможность реализовать природное стремление каждого человека к общению. К групповому обучению можно отнести работу в парах, работу в малых группах, аквариум.
	К фронтальным интерактивным методам относятся такие, которые предусматривают одновременную совместную работу всего класса. Это – обсуждение проблемы в общем кругу: «Микрофон», незаконченные предложения, «Мозговой штурм», «Обучая – учусь».
	К методам обучения в игре  относятся ролевые игры, драматизация.
	Метод обучения  дискуссии – важный способ познавательной деятельности учащихся в процессе обучения, потому что дискуссия – широкое публичное обсуждение спорного вопроса. К этим методам относятся: «Метод ПРЕСС», «Ток-шоу», «Выбери позицию»
	Все эти методы необходимо и возможно использовать на уроках в начальных классах. Безусловно, исходя из специфики обучения в начальной школе, интерактивные методы не будут использоваться в той форме, которая приемлема для средней школы. Некоторые методы будут использоваться лишь частично. И правомернее говорить скорее о реализации приемов интерактивного обучения или об интерактивных упражнениях, которые можно использовать в начальной школе.
	Для эффективного использования интерактивных методов, в том числе – и для того, чтобы охватить весь необходимый объем материала и глубоко его усвоить, учитель должен тщательно планировать свою работу: использовать методы, адекватные возрасту учеников, их опыту работы с такими методами; подбирать для учащихся такие интерактивные упражнения, которые давали бы учащимся «ключ» к усвоению темы; учитывать темп работы каждого учащихся и его способности; на одном занятии использовать один-два (максимум) интерактивных приемов; сначала стоит  использовать простые интерактивные приемы – работа в парах, малых группах, «Мозговой штурм», «Микрофон».
	Использование интерактивных методов выдвигает определенные требования  к структуре урока. Как правило, предлагается такая структура урока.
1. Мотивация. 
Цель этого этапа – сфокусировать внимание учащихся на проблеме и вызвать  интерес к обсуждаемой теме. Можно использовать такие приемы, как вопросы, цитата, короткая история, небольшое задание, разминка.
2. Объявление, представление темы урока и ожидание результатов.
Цель этапа – обеспечить понимание учащимися содержание их деятельности, того, чего они достичь в результате урока и что от них ожидает учитель.
3. Сообщение необходимой информации.
Цель этапа – дать учащимся достаточно информации для того, чтобы на ее основе выполнять практические задания. 
4.Интерактивное упражнение – центральная часть занятия.
Цель занятия – практическое освоение материала, достижение поставленных целей урока. Проводится этот элемент в такой последовательности:
Инструктирование – учитель рассказывает про цели упражнения, про правила, последовательность действий и количество времени на выполнение заданий, спрашивает все ли понятно учащимся; объединение в группы или распределение ролей; выполнение задания, при котором учитель выступает как организатор, помощник
Презентация результатов выполнения упражнения.
Подведение итогов, оценивание результатов урока.
	Таким образом, основными составляющими интерактивных уроков являются интерактивные упражнения и задания, которые выполняются учащимися.
	Завершить урок можно, применив такие интерактивные упражнения для рефлексии как «Ромашка», «Рефлексивный экран», «Мухомор», «Мудрый совет», «Итоговый круг». 
	Принципиальное отличие интерактивных упражнений и заданий в том, что в ходе их выполнения не только и не столько закрепляется уже изученный материал, сколько изучается новый. 
	Интерактивные методы и соответствующие им приемы и упражнения можно представить таким образом:
Интерактивные методы и приемы обучения.

	Рассмотрим некоторые из интерактивных приемов и возможность их использования на уроках математики в начальных классах
	Фактически в основе каждого интерактивного приемы, упражнения лежит творческое задание. 	Под творческими заданиями следует понимать такие учебные задания, которые требуют от учащихся не простого воспроизводства информации, а творчества, поскольку задания содержат больший или меньший элемент неизвестности и имеют, как правило, несколько подходов.
	Вокруг него создается атмосфера открытости, поиска. Творческое задание, особенно практическое, придает смысл обучению, мотивирует учащихся. Неизвестность ответа и возможность найти свое собственное «правильное» решение, основанное на своем персональном опыте и опыте своего коллеги, друга, позволяют создать фундамент для сотрудничества, сообучения, общения всех участников образовательного процесса, включая педагога.
	Выбор творческого задания сам по себе является творческим заданием для педагога, поскольку требуется найти такое задание, которое отвечало бы следующим критериям: не имеет однозначного и односложного ответа или решения; является практическим и полезным для учащихся; связано с жизнью учащихся; вызывает интерес у учащихся; максимально служит целям обучения.
	Если учащиеся не привыкли работать творчески, то следует постепенно вводить сначала простые упражнения, а затем все более сложные задания.
	Самыми элементарными примерами таких заданий могут быть разнообразные игры на составление фигур-силуэтов по своему замыслу: Монгольская игра «Танграм» (составление прямоугольника из треугольников и четырёхугольников), задачи — шутки, задания со спичками (А.Т.Улицкий, Л. А. Улицкий «Игры со спичками) и др.
Аквариум
Дети делятся на 2 группы. Одна группа размещается в центре класса, создавая внутренний круг. Участники группы начинают обговаривать проблему, предложенную учителем, а остальные наблюдают и анализируют. В конце обсуждения участники внутреннего круга высказывают свое мнение по решаемой проблеме, а участники внешнего круга резюмируют его, вносят коррективы.
Рассмотрим, как подобную работу можно организовать в начальных классах.
Учитель: Рассмотрите данные фигуры. Как вы думаете, какая фигура лишняя? Почему? По какому признаку объединили остальные фигуры?

После обсуждения ученики высказывают свое мнение: Мы считаем, что лишняя фигура – круг. 
Учитель. Докажите.
Ученики: У него нет углов. А еще нет сторон. Все остальные фигуры имеют углы. А еще они имеют стороны. 
Учитель: Я согласна с вами. А как можно назвать данные фигуры одним словом?
На этом этапе может возникнуть несколько версий: многосторонники, всеугольники, всесторонники, многоугольники. Хорошо если все версии будут зафиксированы на доске, а после работы с учебником останется только приемлемая.
Проекты
	Учителя осторожно выбирают математику для проектной деятельности. Между тем организация проектов — достаточно эффективный метод обучения всем естественнонаучным дисциплинам, к числу которых относится и математика.
	Проекты по математике в начальной школе, так же как и предметные, социальные проекты, проекты по другим учебным дисциплинам и проекты для других возрастных групп, бывают самыми разнообразными. Они бывают индивидуальными и групповыми, отличаются временем работы над ними, характером деятельности и
конечным продуктом. Как было указано выше, проектную деятельность характеризует искренний интерес учеников к проблеме и самостоятельный выбор темы проекта.
Направления проектной деятельности младших школьников по математике.
(Материалы статьи Смолеусовой Т.В. Проекты по математике как методическая инновация//Начальная школа. – 2013. - №8.)

	Работа в малых группах - это одна из самых популярных стратегий, так как она дает всем учащимся (в том числе и стеснительным) возможность участвовать в работе, практиковать навыки сотрудничества, межличностного общения (в частности, умение  слушать, вырабатывать общее мнение, разрешать возникающие разногласия). Все это часто бывает невозможно в большом коллективе. Работа в малой группе неотъемлемая часть многих интерактивных методов, например таких, как мозаика, дебаты, общественные слушания, почти все виды имитаций и др.
	В то же время работа в малых группах требует много времени, этой стратегией нельзя злоупотреблять. Групповую работу следует использовать, когда нужно решить проблему, которую учащиеся не могут решить самостоятельно. Если потраченные усилия и время не гарантируют желаемого результата, лучше выбрать метод «один  - вдвоем - все вместе для быстрого взаимодействия.
	Начинать групповую работу следует, не торопясь. Можно организовать сначала пары. Уделить особое внимание учащимся, которые с трудом приспосабливаются к работе в небольшой группе. Когда учащиеся научатся работать в паре, переходить к работе в группе, которая состоит из трех учащихся. Как только мы убеждаемся, что эта группа способна функционировать самостоятельно, постепенно добавляем новых учащихся. Набирать в малую группу следует не более пяти человек.
	Опытные методисты рекомендуют образовывать группы с разнородным составом учащихся, включая туда сильных, средних и слабых учащихся, мальчиков и девочек, представителей разных культур, социальных слоев и т.д. В разнородных группах стимулируются творческое мышление и интенсивный обмен идеями. Учащиеся проводят больше времени, представляя свою точку зрения, могут обсудить проблему более детально и учатся рассматривать вопрос с разных сторон. В таких группах строятся более конструктивные взаимоотношения между участниками.
	Способы распределения учащихся по группам: заранее составить список групп и вывесить его, указав место сбора каждой группы (в этом случае учитель контролирует состав группы), попросить учащихся рассчитаться "на первый-второй...» по числу групп (после расчета первые номера образуют первую группу, вторые – вторую), по позиции учащихся.
	Сохранение стабильного состава группы в течении достаточного долгого времени способствует достижению учащимися мастерства в групповой работе. В то же время смена состава группы позволяет всем учащимся поработать с разными людьми и узнать их. 
	Организуя групповую работу, обращать внимание на следующие ее аспекты: убедитесь, что учащиеся обладают знаниями и умениями, необходимыми для выполнения группового задания. Нехватка знаний очень скоро даст о себе знать - учащиеся не станут прилагать усилий для выполнения задания.
	Старайтесь сделать свои инструкции максимально четкими. Маловероятно, что группа сможет воспринять более одной или двух, даже очень четких, инструкций за один раз, Записать инструкции на доске и (или) карточках, предоставить группе достаточно времени на выполнение задания, придумать, чем занять группы, которые справятся с заданием раньше остальных.
	Групповая работа должна стать правилом, а не радикальным, единичным отступлением от традиционной практики применения пассивных методов обучения. В то же время не следует использовать малые группы в тех случаях, когда выполнение задания требует индивидуальной работы.
	Следует обязательно продумать метод поощрения, обеспечить групповые награды за групповые усилия. 
	Быть внимательным к вопросам внутригруппового управления. Если один из учащихся должен отчитаться перед классом о работе группы, надо обеспечить справедливый выбор докладчика. Стараться  обращать внимание на то, как уважаются права каждого члена  группы. 
	Надо быть готовым к повышенному рабочему шуму, характерному, для методов совместного обучения.
	В малых группах можно решать задачи на умножение и деление с реальным жизненным контекстом: «Всего 20 кубиков, и каждому из вас нужно одно и то же количество кубиков». «В вашей группе 5 человек. Сколько кубиков получит каждый?». Обучающиеся работают в группах над решение этой задачи. Каждая группа делится своими математическими размышлениями и способами решения с другими группами.
	Другой пример: «Каждый в группе должен иметь три листа бумаги для работы. В вашей группе 4 человека. Сколько листов бумаги нужно вашей группе?»
Мозаика
	Данный метод позволяет учащимся получить большое количество информации в течение короткого промежутка времени, он служит способом решения сложной проблемы, требующей определённых знаний.  Применять этот метод на уроках следует по следующим правилам:
1. Определить, на какие задачи раскладывается проблема, которую предстоит решить в классе. К примеру: изучить определённый учебный материал или отработать навык применения учебных знаний.
2. Подготовить необходимую информацию для каждой экспертной группы: разделы изучаемого параграфа, набор задач и т.п. Желательно, чтобы учащиеся смогли ими легко воспользоваться (указать конкретные страницы, подобрать задания по учебнику или другим источникам, сделать копии и др.)
3. Изготовить таблички разного цвета с именами (или цифрами) для распределения учащихся по группам. Каждый ученик будет входить в две группы – «основную» и группу «экспертов». Основные группы можно обозначить номерами, например от 1 до 5. Каждая группа состоит из 5 человек, которые будут являться экспертами по определённой теме. Экспертов каждой темы (раздела темы, типов задач, уравнений и т.п.) обозначаем цветами: красный, синий, жёлтый, зелёный, белый. Таким образом, в каждой основной группе присутствуют эксперты разных цветов (по разным темам). После того как члены «основной» группы ознакомились с заданием, обсудили и распределили его между собой, «эксперты» расходятся по «экспертным» группам, в каждой из которых собираются эксперты по одной теме (с одним цветом) и обсуждают эту тему, решают свои задачи и т.д. Группа экспертов определяет чему каждый из «экспертов» научит свою «основную» группу. Затем «эксперты» возвращаются в свои «основные группы» и докладывают группам о проделанной работе, обучая своих товарищей. Таким образом, происходит обмен информацией между детьми, а учитель выступает в качестве консультанта, помощника «экспертным» группам, наблюдателем за процессом взаимного обучения. Итоги урока подводит «основная» группа, которая может оценить вклад разных «экспертов» в общее решение. В конце преподаватель проверяет уровень освоение материала учащимися и подводит итоги занятия.
Микрофон
	Учитель передаёт игрушечный микрофон ученику. Говорящий произносит правило математическое, если он теряется, то класс задаёт ему вопрос. Ученик даёт ответ, но если он снова в затруднении и не может ответить на поставленный вопрос, то ответ даётся детьми хором.
	Данный прием позволяет снять напряжение ответа у доски и внести разнообразие в урок.
Мозговой штурм
	Метод весьма прост, доступен и детям, и взрослым, эффективен, даже если участники не очень компетентны. Не требуется предварительное обучение участников кроме ведущего, который должен знать теорию метода, методику проведения сеансов и виды мышления. 	Это коллективный метод решения задач, поэтому срабатывает системный эффект - увеличивается сила решений от объединения усилий многих людей (эффект "коллективного" ума) и возможности развивать идеи друг друга. 	Мозговой штурм можно использовать ежедневно для развития фантазии и воображения и для раскрепощения сознания детей. Можно показать, что у одной и той же задачи есть много разных решений и каждое правильно, но только для своих конкретных условий. Можно научить детей не бояться высказывать свои мысли, снять страх перед критикой и страх ошибиться. Можно научить слушать товарищей, уважать и свое, и чужое мнение, сдружить группу (класс). - Можно поднять статус робкого ребенка, сделать его более смелым и раскованным, если обращать общее внимание на его решения, пусть и слабые. Можно научить детей позитивной критике. Метод почти не требует от преподавателя предварительной подготовки к занятиям.
	Перед учащимися ставится задача "совершенно самостоятельно" вывести правило, доказать теорему, проанализировать произведение, дать объяснение и т.п. Для интриги учитель может "признаться", что ему никак не поддается данный материал, нужна помощь учащихся. Дается время на решение данной проблемы "мозгового штурма" - 15 минут. Разрешается и индивидуальный штурм, и групповой. Затем выслушивается как можно большее число вариантов решения проблемы. Учитель "мешает" ребятам, приводит к абсурду, или, напротив, поддерживает позицию. Принимаются любые версии, в том числе и неправильные. В ходе поиска правильного решения у ребят складывается цельное представление о поставленной проблеме, и, самое главное - идет работа по предупреждению ошибок и пробелов.
Математическая экскурсия
	Экскурсия, какой бы дисциплине она ни соответствовала, способствует развитию у школьников интереса к знаниям, росту мотивации к учению, расширяет кругозор, учит рассматривать факты и явления окружающей жизни во взаимосвязи; сравнивать их между собой, делать обобщения, выводы и т.д.
	Уроки-экскурсии по математике предоставляют очевидную возможность для освоения обучающимися математических граней мира.
	Дети с удовольствием вспоминают уроки математики, проходившие на свежем воздухе, на которых они искали скорость течения ручья, скорость ветра, объём будки во дворе школы, измеряли площадь пришкольного участка и т.д. Полезны экскурсии в кабинеты старшей школы, например в кабинеты физики, химии для знакомились с измерительными приборами. Интересны экскурсии на работу родителей, связанные с изучаемыми темами по математике.
Кластер.
Кластер (англ. «cluster» – пучок, гроздь) – объединение нескольких однородных элементов, которое может рассматриваться как самостоятельная единица, обладающая определенными свойствами.
	Это карта понятий, которая позволяет ученикам свободно размышлять над какой-либо темой, дает возможность оценить свои знания и представления об изучаемом объекте, помогает развивать память.
	Кластер – это способ графической организации материала, позволяющий сделать наглядными те мыслительные процессы, которые происходят при погружении в ту или иную тему.
Этапы работы при составлении кластера:
1-й этап – посередине чистого листа (классной доски) пишется ключевое слово или словосочетание, которое является “сердцем” идеи, темы.
2-й этап – учащиеся записывают все то, что вспомнилось им по поводу данной темы. В результате вокруг “разбрасываются” слова или словосочетания, выражающие идеи, факты, образы, подходящие для данной темы. Записывается все, что называют учащиеся, ничего не отсеивается.
3-й этап – осуществляется систематизация. После чтения учебника, объяснения учителя учащиеся начинают анализировать и систематизировать изученный материал. Хаотичные записи слов-ассоциаций объединяются в группы, в зависимости от того, какую сторону содержания отражает то или иное записанное понятие, факт. Ненужное, ошибочное зачеркивается.
4-й этап – по мере записи появившиеся слова соединяются прямыми линиями с ключевым понятием. У каждого из “спутников” в свою очередь тоже появляются “спутники”, устанавливаются новые логические связи. В итоге получается структура, которая графически отображает наши размышления, определяет информационное поле данной темы.
Написание эссе
	Смысл этого приема можно выразить следующими словами: “Я пишу для того, чтобы понять, что я знаю, что я думаю”. Это свободное письмо на заданную тему, в котором ценится самостоятельность, проявление индивидуальности, дискуссионность, оригинальность решения проблемы, аргументации. 
	На уроках математики трудно предложить темы для свободного высказывания, но, тем не менее, это сделать можно. Несомненно, такая работа требует тщательной подготовки от учителя.
	Например, можно предложить учащимся сочинить сказку о фигурах вращения, чтобы продемонстрировать детям возможные варианты сочинений, целесообразно прочитать отрывок из сказки, которую написал С. Петровский (Обобщающая модель обучения в проекте МПИ: Организация работы на уроках геометрии. Метод. Указания: Кн. для учителя. Вып.2. – Томск, 2001.).
Математическая карусель
	Очень эффектным, интересным и продуктивным методом обучения является «Математическая карусель». Это образовательная игра пригодна и для проведения урока, и для внеклассного мероприятия (например, олимпиада). Данный метод вовлекает всех учащихся в образовательную деятельность, даёт возможность коллективного поиска решения задач, обмена идеями, информацией, математическими знаниями. А, так как математическая «карусель» - это соревнование между группами, то урок в такой форме разжигает у детей не только спортивный азарт и волю к победе, но и мотивирует учащихся к получению более широких познаний в области математики.
	Остановимся подробнее на правилах математической «карусели». Математическая «карусель» – это командное соревнование по решению задач. Побеждает команда, набравшая наибольшее число очков. Задачи решаются на двух рубежах – исходном и зачётном. Всем членам команды присваиваются порядковые номера (на пример от 1 до 6). По сигналу команды на исходном рубеже начинают решать задачи и предъявляют решение (или ответ) судье. Если оно верное, игрок №1 переходит на зачётный рубеж и получает задачу там, а члены команды, оставшиеся на исходном рубеже получают новую задачу, если опять верный ответ, то игрок №2 переходит на зачётный рубеж и присоединяется к игроку № 1 и т.д. 
	В дальнейшем члены команды, находящиеся на «исходном» и «зачётном» рубежах, решают новые задачи независимого друг от друга. Все игроки в команде как бы выстроены в очередь. Если на исходной позиции задача решена правильно, игроки в порядке очереди переходят на зачётный рубеж, но если на зачётном рубеже задача решена неправильно, то опять в порядке очереди игроки возвращаются на исходную позицию. И на исходном, и на зачётном рубежах команда может в любой момент отказаться от решения задачи. При этом задача считается нерешённой. После того, как часть команды, находящаяся на каком–либо из двух рубежей рассказала решение очередной задачи или отказалась от неё, она получает новую задачу.
	На исходном рубеже за каждую верно решённую задачу ставится 1 балл, за первый верный ответ на зачёте команда получает 3 балла, за второй верный ответ 4 балла, и т.д. Если же очередная задача решена неверно, то цена следующей задачи зависит от цены нерешённой следующим образом. Если цена неверно решенной задачи была 6 баллов или больше, то следующая задача стоит 5 баллов. Если неверно решённая задача стоила 5 баллов, то следующая задача стоит 4 балла, если же неверно решённая задача стоила 3 или 4 балла, то следующая задача стоит 3 балла. Игра для команды заканчивается, если: а) кончилось игровое время; б) кончились задачи на зачётном рубеже; в) кончились задачи на исходном рубеже, а на зачётном рубеже нет ни одного игрока. Игра оканчивается, если она закончилась для всех команд. Побеждает команда, набравшая больше баллов. Продолжительность "карусели" может составлять от 20 минут до 2 часов и зависит от её целей, количества и трудности задач и размеров команд.
Синквейн. 
	Составление синквейна требует от ученика в кратких выражениях резюмировать учебный материал, информацию, что позволяет рефлексировать по какому-либо поводу, и возможно на уроках по любому предмету.
	Синквейн (от фр. cinquains, англ. cinquain) – это стихотворение, состоящее из пяти строк.
– Первая строка – одно ключевое слово (понятие), определяющее содержание синквейна.
– Вторая строка – два прилагательных, характеризующих данное понятие.
– Третья строка – три глагола, показывающие действие понятия.
– Четвертая строка – короткое предложение, в котором автор выказывает свое отношение.
– Пятая строка – одно слово, обычно существительное, через которое человек выражает свои чувства, ассоциации, связанные с данным понятием.
	Приведем пример синквейна, который можно составить с учащимися после изучения темы «Масса»:
Масса.
Тяжелый, легкий.
Взвешивать, сравнивать, решать.
Процесс измерения массы – взвешивание.
Величина.
	Упражнение «Ромашка» дети отрывают лепестки ромашки и отвечают на главные вопросы, относящиеся к теме урока, записанные на обратной стороне, дополняют друг друга, тем самым проводят рефлексию своих достижений на уроке.
«Мухомор» 
	На листе рисуется круг, который разделен на секторы по числу этапов урока. Вне круга записываются вопросы. Например, при общей теме обсуждения задается вопрос «Насколько я был доволен …» 
 • передачей содержания 
 • возможностью задавать вопросы 
 • психологической атмосферой в группе 
 • раздаваемыми рабочими и информационными материалами 
 • организацией отдыха 
	До начало работы предоставляется возможность обозначить свою оценку наклеиванием кругов на сектора круга или нарисовать фломастером. Чем больше удовлетворенность, тем ближе к центру круга ставятся значки (ассоциация – попадания в цель) 
	Общий вид «мухомора» выявляет основные тенденции при оценке работы по отдельным ее аспектам. Далее проводится общее обсуждение итогов с уточнением отдельных моментов. 
	Примечание: этот метод уязвим, так как многие склонны присоединяться к оценкам своих предшественников. Поэтому нужно позаботиться о том, чтобы размещение значков в круге происходило не на глазах у всех участников, а например на стенде, повернутом обратной стороной.
Пазл.
	Пазл (англ. «puzzle» – загадка, головоломка) – известная детская игра по сбору картинок из неровных частей.
	Выполнение заданий по этому методу построено на основе игры. В учебной практике изучаемый (или контролируемый) материал частями записан на отдельных карточках, но в каждой карточке должна быть информация к поиску следующей. Ученик должен собрать все карточки по указанному учителем материалу.
	На уроках математики его можно использовать при работе с формулами, при решении уравнений и задач. Прием “Пазл” способствует формированию внимания, сосредоточенности, умения собирать и анализировать полученную информацию.
	Учебный «пазл» можно составлять с учащимися на любой стадии изучения материала, в любой возрастной группе. Это может быть индивидуальная или коллективная работа.
Конвейер
	Участникам игры раздаются карточки с произвольной меткой (метки у каждого разные). На карточке выстроен ряд кругов, соединенных линиями. Над линиями между кругами записаны действия вида: + 3; –6; *4; : 5 и т.д.
	Только в первом круге записано число. Количество этапов в карточке (кругов) зависит от количества участников игры.
	Данная игра эффективнее применяется на этапе отработки вычислительных умений.
	По сигналу учителя каждый участник заполняет один ответ (круг) и по конвейеру передает карточку следующему участнику, а сам получает новую (по сигналу учителя). Преподаватель четко определяет время работы участников и момент передачи карточки следующему.
	 В результате работы заполняются все карточки, каждому ученику возвращается первоначальная карточка с его меткой. Затем проводится проверка правильности конечных ответов с помощью учителя.
«Рефлексивный экран» 
	Обычно в конце урока подводятся его итоги, обсуждение того, что узнали, и того, как работали – т.е. каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы класса, увлекательность и полезность выбранных форм работы. Ребята по кругу высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске: 
 1. сегодня я узнал… 
 2. было интересно… 
 3. было трудно… 
 4. я выполнял задания… 
 5. я понял, что… 
 6. теперь я могу… 
 7. я почувствовал, что… 
 8. я приобрел… 
 9. я научился… 
 10. у меня получилось … 
 11. я смог… 
 12. я попробую… 
 13. меня удивило… 
 14. урок дал мне для жизни… 
 15. мне захотелось… (Приемы рефлексии в начальной школе (из опыта работы Гопанович О.С.) URL: http://collegy.ucoz.ru/ (Дата обращения: 21.06.2014)
«ПОПС-формула» используется при выполнении заданий, в которых ученику требуется занять определенную позицию, четко сформулировать собственные мысли и представлять свое мнение в сжатой форме.
П - позиция. В чем заключается твоя точка зрения? (Я считаю, что…)
О - обоснование. Довод в поддержку твоей позиции. (…потому что...)
П - пример. Факты, иллюстрирующие твой довод. (Например...)
С - следствие. Вывод: что надо сделать, призыв к принятию твоей позиции либо повторение позиции. (Поэтому...)
	Очень хорошо, если первое время модель ПОПС-формулы будет у детей перед глазами.
	Приведем пример такой работы на уроке математики. В процессе семантического анализа учитель предлагает прочитать  текст и ответить является ли он задачей.
Пять воробьев на заборе сидели.
Один улетел, а четыре запели.
И пели пока не сморила усталость.
Один улетел и их трое осталось.
	Дети читают текст и формулируют свои ответы в соответствии с ПОПС-формулой.
Я считаю, что это не задача, потому что нет вопроса, на который нужно ответить. Например, если бы в конце спросили: «Один улетел, сколько осталось?», тогда можно было сказать, что это задача. Поэтому можно утверждать, что это просто стишок, а не задача.
	Из технологии интерактивного обучения можно взять много нового и полезного для своего профессионального роста, для решения проблемы активизации познавательной деятельности детей. Ученики из года в год становятся взрослее, развитее с помощью нетрадиционного подхода к обучению. Они способны работать уже не на репродуктивном уровне, а творить. Благодаря технологии сотрудничества они становятся самостоятельней, активнее, общительнее и способны работать на более высоком уровне.
	Создается ситуация творческого роста педагога, благодаря которой он выходит на более высокий виток своего профессионального развития.

Материалы для тестирования
Вариант №1.
Часть А (задания закрытой формы)
Инструкция: при выполнении заданий запишите номер правильного ответа.
№ 1. Укажите неверную запись.
1.	
2.	
3.	
4.	
№ 2. Множество А – множество натуральных чисел, кратных 4, множество В – множество натуральных чисел, кратных 5. Эти множества находятся в следующем отношении друг с другом:
1.	не пересекаются;
2.	пересекаются;
3.	множество А является подмножеством В;
4.	А и В равны.
№ 3. Пересечение множества отрицательных чисел с множеством положительных чисел является:
1.	множество целых чисел;
2.	пустое множество;
3.	множество натуральных чисел;
4.	множество иррациональных чисел.
№ 4. Числа, возникшие в процессе счета отдельных предметов:
1.	целые;
2.	рациональные;
3.	натуральные;
4.	отрицательные.
№ 5. Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества:
1.	неотрицательных целых чисел;
2.	рациональных чисел;
3.	натуральных чисел;
4.	целых чисел.
№ 6. Натуральный ряд чисел начинается с:
1.	0;
2.	1;
3.	минус бесконечности;
4.	4.
№ 7. Аксиоматическую теорию построения системы натуральных чисел обосновал:
1.	Дж. Пеано;
2.	Г. Кантор;
3.	А. В. Мальцев;
4.	Л. Эйлер.
№ 8. Римская система счисления является примером:
1.	смешанной системы счисления;
2.	позиционной системы счисления;
3.	непозиционной системы счисления;
4.	шестидесятеричной системы счисления. 
№ 9. Числовым выражением является:
1.	(32+х):14;
2.	(17+13):10–15; 
3.	7*2=2*7;
4.	142>71*2.
№ 10. На множестве натуральных чисел имеет смысл выражение
1.	(135+67)*12; 
2.	362:4;
3.	135:(12–12);
4.	(135-217):2
№ 11. Выражением с переменной является:
1.	8+0,3в;
2.	х+2у<7;
3.	32:у+3=5у;
4.	21-(4+y).
№ 12. Корнем уравнения (3x+1)*2=6x+2 на множестве R является:
1.	0;
2.	1;
3.	любое действительное число;
4.	уравнение не имеет корней.
№ 13. Между числами 56мин и 0,7ч можно поставить знак:
1.	<;
2.	=;
3.	>;
4.	+.
№ 14. Какими методами можно решить задачу. У Тани было 110 марок. Она подарила сестре половину всех марок. Сколько марок осталось у Тани?
1.	арифметическим;
2.	алгебраическим и арифметическим;
3.	геометрическим и арифметическим;
4.	практическим.
№ 15. Определите, к какому виду относится задача. На складе было 392 банки вишневого, малинового и клубничного варенья. Банок с вишневым вареньем было в 3 раза больше, чем малинового. Сколько весит вишневое варенье, если в каждой банке его 800грамм?
1.	определённая;
2.	задача с альтернативным условием;
3.	неопределённая;
4.	переопределённая.
№ 16. Где зародилась наука геометрия?
1.	Древня Греция
2.	Индия
3.	Древний Вавилон
4.	Древний Египет.
№ 17. Что такое аксиома?
1.	то, что можно определить с помощью других, более простых понятий;
2.	то, что принимается без определения;
3.	это предположение, которое не требует доказательств;
4.	то, что определяется через основные или ранее определенные понятия.
№ 18. Поверхность, ограничивающая шар называется:
1.	окружность;
2.	круг;
3.	сфера;
4.	плоскость.
№ 19. Какими не могут быть вертикальные углы?
1.	прямыми;
2.	тупыми;
3.	острыми;
4.	один острый, другой тупой.
№ 20. Средней линией треугольника называют:
1.	отрезок перпендикуляра между вершиной и прямой, содержащей противоположную сторону;
2.	отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне;
3.	отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны
4.	отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
№ 21. Цилиндр – это тело, которое получается в результате вращения:
1.	прямоугольника вокруг одной из его сторон;
2.	прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;
3.	полукруга вокруг его диаметра;
4.	квадрата вокруг его оси.
№ 22. Какие приемы умственных действий применяются обучающимися при выполнении следующего задания. Чем похожи между собой числа 50, 70, 10, 90?
1.	анализ;
2.	синтез;
3.	сравнение;
4.	классификация.
№ 23. Какой прием умственных действий применяются обучающимися при выполнении следующего задания. По какому признаку можно разбить данные числа на две группы: 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53.
1.		анализ;
2.	синтез;
3.	сравнение;
4.	классификация.
№ 24. К каким видам задач можно отнести следующее задание. Расположи буквы О, Н, В в клеточках по разному.

											
1.	нестандартные;
2.	комбинаторные;
3.	логические;
4.	схоластические
№ 25. Какое свойство открывают дети в процессе выполнения задания. Догадайся по какому правилу записаны равенства, вставь числа в окошки.
9 + 1 + 6 = 10 + 6
8 + 2 + 4 = 10 + 4
8 + 2 +5 = 	     +      
9 + 1 + 7 = 	     +      
1.	сочетательное свойство сложения;
2.	переместительное свойство сложения;
3.	распределительное свойство;
4.	ассоциативное свойство.
Часть В (задания на дополнение).
Инструкция: при выполнении заданий запишите словами недостающее слово.
№ 1. В записи дроби знаменатель показывает_______________________.
№ 2. В записи дроби числитель показывает________________________.
№ 3. Дроби – это _________________________________________числа.
Часть С (задания с развернутым ответом).
Инструкция: при выполнении заданий необходим развернутый ответ.
	В каком классе, при изучении каких теоретических вопросов можно использовать задачу: «В поход пойдут 19 человек. На каждого нужно купить по 2 банки мясных и 3 банки овощных консервов. Сколько всего банок с консервами нужно закупить для похода?». Обоснуйте ответ. Решите задачу всеми возможными способами. Правильно оформите записи решения задачи.
Вариант №2.
Часть А (задания закрытой формы)
Инструкция: при выполнении заданий запишите номер правильного ответа.
№ 1. Укажите неверную запись:
1.	;
2.	;
3.	;
4.	.
№ 2. Множество А – множество натуральных чисел, кратных 3, множество В – множество отрицательных чисел. Эти множества находятся в следующих отношениях:
1.	не пересекаются;
2.	пересекаются;
3.	множество А является подмножеством В;
4.	А и В равны.
№ 3. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является:
1.	множество действительных чисел;
2.	множество натуральных чисел;
3.	множество целых чисел;
4.	пустое множество.
№ 4. Арабы «нуль», или «пусто», называли:
1.	«цифр»;
2.	«дека»
3.	«сунья»
4.	«тьма»
№ 5. Самыми точными часами принято считать:
1.	солнечные;
2.	атомные;
3.	кварцевые;
4.	электронные.
№ 6. Пересечение множества отрицательных чисел с множеством положительных чисел является:
1.	множество целых чисел;
2.	пустое множество;
3.	множество натуральных чисел;
4.	множество действительных чисел.
№ 7. Десятичная система счисления является примером:
1.	смешанной системы счисления;
2.	позиционной системы счисления;
3.	непозиционной системы счисления;
4.	шестидесятеричной системы счисления.
№ 8. Теорию множеств обосновал:
1.	Дж. Пеано;
2.	Г. Кантор;
3.	А. В. Мальцев;
4.	Л. Эйлер.
№ 9. Среди следующих записей укажите числовые выражения.
1.	42:5y;
2.	(12*4:3)+(5*8:2*7); 
3.	73;
4.	32+(45):14.
№ 10. На множестве натуральных чисел не имеет смысл выражение:
1.	(135+67)*12; 
2.	362:4;
3.	135:(12–12);
4.	(135-217):2
№ 11. Неравенством с переменной является:
1.	8+0,3в;
2.	х+2у<7;
3.	32:у+3=5у;
4.	21-(4+y).
№ 12. Корнем уравнения (3x+1)*2=6x+1 на множестве R является:
1.	0;
2.	1;
3.	любое действительное число;
4.	уравнение не имеет корней.
№ 13. Между числами 0,25ч и 25мин можно поставить знак:
1.	<;
2.	=;
3.	>;
4.	+.
№ 14. Какими методами можно решить задачу. Туристы проехали 320км на теплоходе и автобусе. Они были в пути 7ч. С какой скоростью ехали на автобусе, если на теплоходе они плыли 4ч со скоростью 35км/ч?
1.	арифметическим;
2.	алгебраическим и арифметическим;
3.	геометрическим и арифметическим;
4.	практическим.
№ 15. Определите к какому виду относится задача. На речном вокзале за три дня было продано 42 билета второго и третьего класса. Билетов второго класса было продано в 2 раза меньше, чем третьего. Сколько денег получил кассир за все проданные билеты, если билет второго класса стоил 120 рублей, а третьего – на 30 рублей дешевле?
1.	определённая;
2.	задача с альтернативным условием;
3.	неопределённая;
4.	переопределённая.
№ 16. Кто является автором книги «Начала»?
1.	Мухаммед аль-Хорезми;
2.	Фалес;
3.	Евклид;
4.	Пифагор.
№ 17. Выберите наиболее полное определение науки геометрия:
1.	это наука о фигурах
2.	раздел математики, изучающий пространственные формы и их отношения
3.	это собрание правил, необходимых для решения практических задач, таких как сравнение фигур, нахождение геометрических величин, а также для простейших построений;
4.	это дедуктивная наука.
№ 18. Треугольная пирамида, грани которой состоят из четырех правильных треугольников называется:
1.	октаэдр;
2.	икосаэдр;
3.	гексаэдр;
4.	тетраэдр.
№ 19. Какими могут быть смежные углы?
1.	прямыми;
2.	тупыми;
3.	острыми;
4.	один острый, другой тупой.
№ 20. Медианой треугольника называют:
1.	отрезок перпендикуляра между вершиной и прямой, содержащей противоположную сторону;
2.	отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне;
3.	отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны
4.	отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
№ 21. Конус – это тело, которое получается в результате вращения:
1.	прямоугольника вокруг одной из его сторон;
2.	прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;
3.	полукруга вокруг его диаметра;
4.	квадрата вокруг его оси.
№ 22. Какие приемы умственных действий применяются обучающимися при выполнении следующего задания. Чем похожи между собой математические записи 3 + 2, 13 + 7, 12 + 25?
1.	анализ;
2.	синтез;
3.	сравнение;
4.	классификация.
№ 23. Какой прием умственных действий применяются обучающимися при выполнении следующего задания. По какому признаку можно разбить данные числа на две группы: 91, 81, 82, 95, 87, 94, 85.
1.	анализ;
2.	синтез;
3.	сравнение;
4.	классификация.
№ 24. К каким видам задач модно отнести следующее задание. Маша занимается теннисом 2 раза в неделю. Какие два дня может выбрать Маша для тренировок, если в понедельник и в воскресенье нет занятий?

											

1.	нестандартные;
2.	комбинаторные;
3.	логические;
4.	схоластические
№ 25. Какое свойство открывают дети в процессе выполнения задания. Объясни, как получены выражения, записанные в каждом равенстве слева и справа. Найди значения этих выражений.
38 + 2 + 7 = 38 + 9
57 + 3 + 5 = 57 + 8
76 + 4 + 3 = 76 + 7
84 + 6 + 3 = 84 + 9
1.	сочетательное свойство сложения;
2.	переместительное свойство сложения;
3.	распределительное свойство;
4.	ассоциативное свойство.
Часть В (задания на дополнение).
Инструкция: при выполнении заданий запишите словами недостающее слово.
№ 1. 5м, 45см, 32мин, 9га – это______________________________числа.
№ 2. Количественная оценка величины называется __________________.
№ 3. Результатом процесса измерения величины является определённое__________________________________, показывающее – сколько раз выбранная мера «уложилась» в измеряемую величину.
Часть С (задания с развернутым ответом).
Инструкция: при выполнении заданий необходим развернутый ответ.
Можно ли отнести задачу «За 15 м ткани уплатили 450рублей. Сколько метров такой же ткани можно купить на 240 рублей?» к задачам на нахождение четвертого пропорционального? Преобразуйте ее: 1) в задачу на пропорциональное деление; 2) задачу на нахождение неизвестного по двум разностям. Решите задачу разными способами и правильно оформите запись решения.

Контрольные работы

Контрольная работа к разделу 1.
1.	Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов и которые вытекают из определения счета элементов конечного множества.
2.	Продолжите определение натурального числа: «Натуральным числом называется элемент множества N, …»
3.	Сколько всего имеется трехзначных чисел, у которых число сотен на 3 меньше числа десятков, а число десятков на 3 меньше числа единиц?
4.	Установите причины ошибок и предложите пути их предупреждения и устранения:
a.	Наименьшее трехзначное число 111.
b.	После числа 500 при счете называют 600, а затем 700, 800, 900.
c.	В числе 807 цифра 0 обозначает, что отсутствует второй разряд.
d.	7000 копеек составляют 7 рублей. 
e.	Число 34 тысячи 40 записывается так 3440.
f.	Число 345 состоит из трех цифр, а число 3000 из двух.
5.	Почему наша система счисления называется десятичной? Какие еще системы счисления вы знаете? Запишите разрядный состав чисел 37 890, 405 067, 2 345 609 пользуясь образцом:
456 =4*10І +5*10№+6*10°
6.	Выполните за ученика 3 класса задание из тетради по математике (Е.П. Бененсон, Л.С. Итина).

Найди закономерность и запиши слова и числа

_ 92
   58

_ 50
   36

_ 83
   79

_    41
      26

_ 69
   __

_   
   48

домик

код
	яичко

очи	карп

-------	
слово

--------
	алмаз

зал	колос

сок	

7.	Представьте в виде десятичной записи числа: тысяча, миллион, миллиард, биллион, триллион, квадриллион, квинтиллион, секстиллион, септиллион.
8.	Сформулируйте признак делимости на 3 и 9. Из ряда чисел 72, 312, 522, 483, 1197 выпишите те, которые делятся на 3 и 9.
9.	На основании знаний о свойствах наибольшего общего делителя решите задачу: 20 апельсинов, 120 конфет и 30 пачек печенья разложили в одинаковые подарочные наборы поровну. Какое наибольшее число подарочных наборов можно сформировать? Сколько апельсинов, конфет и пачек печенья будет в каждом наборе?
10.	 Проведите исследование в группах по 4 человека на тему «Однозначные числа в русских пословицах». Результаты проекта представьте в мультимедиа презентациях.
11.	Используя способ перебора, таблицу и «дерево возможных вариантов», выполните комбинаторное задание: «У клоуна четыре берета: красный (К), черный (Ч), желтый (Ж), зелены (З) и три рубашки: клетчатая (1), полосатая (2), в горошек (3). Сможет ли клоун в течении двух недель надевать каждый раз разные комплекты «берет – рубашка».

Контрольная работа к разделу 2.
1.	Что называют числовым выражением?
2.	Упростите выражения путем тождественных преобразований:
6(2ab – 3)+2a(6b-5)
(12a-16b):4-(10a-4b)
3.	В уравнении (x - …)(2x + 5) - (x - 3)(2x + 1)=20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.
4.	Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Приведите пример рассуждений обучающихся.
(85x + 765) : 170 =98.
5.	Какие универсальные учебные действия формируются в процессе выполнения задания: 
В каком из уравнений х – 5 = 7, х – 5 = 9 или х – 5 = 12 корень будет больше.
6.	На диаграмме показано соотношение производства зерновых культур в одном из регионов. 

Используя информацию, представленную на диаграмме, укажите верное утверждение.

1	Овса выращено больше, чем кукурузы	
2	Пшеница составляет более половины зерновых региона	
3	Общий урожай пшеницы, кукурузы и овса составляет более трех четвертей зерновых региона	
4	Общий урожай овса и кукурузы меньше урожая пшеницы	

7.	Сколько рациональных чисел находится между числами ?
8.	Изобразите:
а) прямую призму, основаниями которой являются правильные шестиугольники;
б) параллелепипед;
в) правильную пирамиду, основанием которой является квадрат.
9.	Выпуклый многогранник имеет 6 вершин и 8 граней. Найдите число ребер и изобразите этот многогранник.
10.	Площадь прямоугольника равна 12см в квадрате, длины его сторон выражаются натуральными числами. Сколько различных прямоугольников можно построить согласно этим условиям. Выполните построения.
11.	Длины сторон параллелограмма 6 и 12см, а высота, проведённая к меньше стороне, 10см. Найдите высоту, проведённую к большей стороне параллелограмма.
12.	Из одного куска проволоки, не разрезая ее, надо сделать каркас: а) треугольной пирамиды; б) четырехугольной пирамида; в) куба. Каждое ребро этих многогранников равно 1см. Какова наименьшая длина такой проволоки?
13.	 Какие универсальные учебные действия формируются в процессе выполнения следующего задания.
Начерти по клеточкам такие же фигуры. Какие из них пересекаются? Не пересекаются? Закрась пересечения фигур.

Контрольная работа к разделу 3.
1.	Какую характеристику имеет понятие «величина» в начальных классах.
2.	Приведите примеры положительных скалярных величин.
3.	Назовите две разнородные величины.
4.	О каких величинах идет речь в следующих предложениях: а) груши дороже яблок; б) книга тяжелее тетради; в) Таня выше Светы;
г) в одной коробке 25 яблок, а в другой 30 яблок.
5.	Если длину прямоугольника уменьшить на 2см, а ширину увеличить на 5см, то получится квадрат, площадь которого больше площади прямоугольника на 40см в квадрате. Найдите площадь прямоугольника.
6.	Сравните единицы измерения величин 56мин и 7/10ч; 1,5см и 3/20дм; 3/50м и 4/5м. Как Вы действовали?
7.	Решите за ученика начальных классов задачи. Книга дешевле альбома на 78 копеек. Сколько стоят 2 альбома, если одна книга стоит 68 копеек? Правильно оформите запись решения задачи.
8.	Решите задачу. Расстояние от пункта А до пункта В равно 6км, от В до С 8км. Чему может быть равно расстояние от А до С? Смоделируйте условие задачи на отрезках.
9.	Решите задачу. Длину стола измеряли сначала в сантиметрах, а потом в дециметрах. В первом случае получили число на 108 больше, чем во втором. Чему равна длина стола? Как будет рассуждать обучающийся, решая эту задачу.
10.	Решите задачу алгебраическим методом. Весь путь от турбазы до станции, равный 27км, велосипедист проехал за 1ч40мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время – со скоростью на 3км/ч меньше. Найдите скорость велосипедиста на первом участке пути.
11.	Решите задачу всеми возможными способами. Какие универсальные учебные действия будут формироваться у обучающихся в процессе работы над подобными задачами. От железнодорожной станции одновременно отправляются два поезда. Один движется со скоростью 70 км/ч, а второй – со скоростью 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга они будут находиться через 3 часа?
12.	Решите задачу за обучающегося в начальных классах. Какие универсальные учебные действия формируются в процессе выполнения этого задания.
	Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы из них можно было сложить в 2 раза больший квадрат (по периметру)? Сколько одинаковых кубиков надо взять для составления из них куба в 2 раза большего (по сумме периметров всех граней)?

Контрольная работа к разделу 4.
1.	Назовите класс, в котором можно решать задачу: «Теплоход, двигаясь со скоростью 30км/ч, прошел путь между пристанями за 4 часа. На обратном пути он прошел то же расстояние за 5 часов. С какой скоростью шел теплоход на обратном пути?» Проведите ее анализ (аналитический, синтетический или комбинированный) и запишите решение. Укажите виды простых задач, входящих в данную составную задачу. Какие методические приемы использует учитель на подготовительном этапе работы над задачей.
2.	Какую ошибку могут допустить обучающиеся при решении задачи: «Нужно покрасить 150 рам. Один маляр может сделать это за 15 дней, другой за 10. За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, если они будут работать вместе?» на что следует обратить внимание с целью предотвращения ошибок  при анализе текста задачи? Составьте беседу для разбора условия задачи. Запишите решение задачи, составив выражение.
3.	Составьте схему к задаче и решите е разными способами. У Иры 126 открыток. Это на 14 открыток меньше, чем у ее сестры. Все открытки девочки расклеили в 3 альбома. В первый альбом они поместили 96 открыток, во второй альбом на 12 открыток меньше, чем в первый, а остальные – в третий альбом. Сколько открыток они поместили в третий альбом?
4.	К какому виду составных задач относится следующая задача: «Столяр и его ученик ремонтировали стулья. Ученик работал 6 дней, ремонтируя по 10 стульев в день, а столяр сделал такую же работу за 4 дня. По сколько стульев в день ремонтировал столяр?» преобразуйте ее в задачу на пропорциональное деление и в задачу на нахождение неизвестного по двум разностям. Какой вид краткой записи условия целесообразно выбрать для исходной задачи? Ответ обоснуйте.
5.	Какие универсальные учебные действия формируются у обучающихся в процессе выполнения следующего задания.
Догадайся, как рассуждали ученики при решении задачи разными способами.
Каждой из пяти школ было продано по 23 билета в театр и ещё одной школе – 20. Сколько всего было продано билетов?
1_й ученик: 23 * 5 + 20 = 135 (билетов).
2_й ученик: 1) 23 – 20 = 3; 
		2) 23 * 6 = 138;
		3) 138 – 3 = 135 (билетов).

Примерные вопросы зачета и экзамена по всему курсу
1.	Методическая система «Обучение математике». Предмет, методология, связь методики преподавания математики с другими областями науки.
2.	Методы обучения математике младших школьников.
3.	Цели начального математического образования. Влияние различных факторов на целеполагание.
4.	Реализация принципа преемственности в системе дошкольного и начального математического образования.
5.	Организация урока математики в начальной школе. Виды уроков. Структура урока и содержание его этапов.
6.	Этапы подготовки учителя к уроку математики в начальной школе.
7.	Методический анализ урока математики в начальной школе. Самоанализ урока.
8.	Развитие математических способностей учащихся средствами математики в начальной школе.
9.	Аксиоматическое построение системы натуральных чисел. Теоретико-множественный подход к понятиям натурального числа и нуля.
10.	Теоретико-множественный смысл операций над числами.
11.	Изучение понятия числа в начальной школе. Числа первого десятка. Формирование понятия о разрядных слагаемых.
12.	Изучение арифметических действий первой ступени в начальной школе. Вычислительные приемы сложения и вычитания чисел первого и второго десятка.
13.	Изучение арифметических действий первой ступени в начальной школе. Вычислительные приемы сложения и вычитания чисел первой сотни и первой тысячи.
14.	Вычислительные приемы сложения и вычитания многозначных чисел. Приемы письменного сложения и вычитания.
15.	Изучение действий второй ступени в начальной школе. Смысл действия умножения. Табличное умножение. Приемы запоминания таблицы умножения. Внетабличные случаи умножения.
16.	Изучение действий второй ступени в начальной школе. Смысл действия деления. Табличное деление. Приемы запоминания таблицы деления. Внетабличные случаи деления.
17.	Изучение особых случаев умножения и деления. Внетабличные случаи умножения и деления в пределах 100. Деление с остатком.
18.	Приемы устных вычислений при умножении и делении трехзначных и многозначных чисел.
19.	Приемы письменных вычислений при умножении и делении.
20.	Приемы рациональных вычислений в начальном курсе математики.
21.	Понятие алгоритма. Свойства алгоритмов. Приемы построения алгоритмов.
22.	Примеры алгоритмов в курсе математики начальной школы. Представление алгоритмов в начальной школе.
23.	Алгебраический материал в курсе математики начальной школы. Математическое выражение и его значение. Числовые выражения и их тождественные преобразования.
24.	Числовые равенства и неравенства в курсе начальной школы.
25.	Изучение уравнений и приемов их решения в начальном курсе математики. Виды уравнений, теоретические основы решения уравнений. Методические особенности их изучения.
26.	Расширение множества натуральных чисел. Множество рациональных чисел. Запись рациональных чисел в виде десятичных дробей.
27.	Доли и дроби в начальном курсе математики. Понятие дроби. Изучение дробей в 3-ем и 4-ом классе. Традиционный и альтернативный подходы к изучению дробей в начальной школе.
28.	Особенности изучения геометрического материала в начальной школе. Технологии знакомства с геометрическим понятием.
29.	Знакомство с текстовой арифметической задачей. Виды задач в начальной школе.
30.	Составная задача. Особенности оформления задачи в начальной школе.
31.	Роль моделирования в процессе обучения решению текстовых задач в начальной школе.
32.	Задачи с пропорциональной зависимостью.
33.	Нестандартные задачи в курсе математики в начальной школе.
34.	Изучение величин в начальной школе. Знакомство с величиной масса.
35.	Изучение величин в начальной школе. Знакомство с величиной длина.
36.	Изучение величин в начальной школе. Знакомство с величиной площадь, объем.
37.	Изучение величин в начальной школе. Знакомство с величиной время.
38.	Изучение величин в начальной школе. Знакомство с величиной скорость.
39.	Изучение величин в начальной школе. Знакомство с величиной емкость.

Выполнение курсовых работ
	В результате выполнения курсовой работы студент должен показать готовность к владению основными умениями вести исследовательскую деятельность. С этой целью будущим педагогам необходимо:
• научиться пользоваться библиографическими указателями по методикам преподавания, педагогике, психологии, философии, социологии; 
• изучить определенный минимум литературы по теме и уметь зафиксировать нужную информацию;
• грамотно изложить состояние изучаемого вопроса в современной литературе на основе ее анализа;
• собрать, проанализировать и обобщить передовой педагогический опыт в различных типах образовательных учреждений (если это определено темой);
• выполнить фрагмент опытно-экспериментальной работы, обработать полученный эмпирический материал, проанализировать, систематизировать, интерпретировать его и сделать выводы.
Данные рекомендации помогут студентам в поиске ответов на следующие вопросы.
1. Как выбрать тему курсовой работы?
2. Как обосновать актуальность темы исследования?
3. Какова структура курсовой работы?
4. Как определить основные характеристики курсовой работы?
5. Как вести работу с ключевыми понятиями по теме исследования?
6. Как оформить текст курсовой работы?
7. Как представить работу на обсуждение?
8. Какую помощь может оказать студенту руководитель?

Выбор темы исследования
	Конкретная тематика курсовых работ должна отвечать следующим требованиям:
• соответствовать задачам подготовки специалистов;
• учитывать направления и проблематику современных научно-педагогических исследований;
• приобщать студентов к работе над проблемами, которые исследуют отдельные преподаватели и коллектив кафедры педагогики в целом;
• учитывать разнообразие интересов студентов в области педагогической теории и практики, а также результаты работы в научном студенческом обществе;
• разрабатывать актуальные проблемы воспитания и обучения детей.
Темы курсовых работ  могут определяться разными способами.
1. Преподаватель определяет тему курсовой работы студента. Если педагог ведет исследовательскую работу по определенной проблеме, он может привлечь к ее разработке и студентов, предложив им для творческого поиска перечень конкретных тем.
2. Студент работает по теме, способствующей преодолению затруднений, возникавших в его практической деятельности. Как правило, такие темы выбирают студенты, которые до обучения в педагогическом институте имели опыт работы с детьми, или те, кто совмещает учебу и работу.
3. Студент работает по теме, соответствующей его интересам. Этому содействуют приемы, помогающие ему самостоятельно выбрать тему исследования, которые были предложены П.Т. Приходько: 
• просмотр аналитических обзоров достижений науки, сделанных ведущими специалистами (в конце таких обзоров часто указываются нерешенные проблемы);
• выбор темы, близкой к проблематике ранее выполненных исследований, с использованием новых, более совершенных методов;
•проверка одной из гипотез, выдвинутых, но не проверенных ранее исследователями;
• ознакомление со специальной литературой и периодическими педагогическими изданиями;
•консультации с ведущими учеными для выявления малоизученных проблем и вопросов, имеющих актуальное значение.
	После того, как выбрана и согласована с научным руководителем тема курсовой работы, составляется календарный план, в котором определяются сроки выполнения этапов курсовой работы. План облегчает контроль за ходом выполнения исследования и помогает студенту самостоятельно и осознанно выполнять курсовую работу.
Структура курсовой работы
Курсовая работа имеет следующую примерную структуру.
I. Титульный лист. Он оформляется с учетом следующих требований. Вверху – название учебного заведения и кафедры. В середине листа пишутся фамилия, имя, отчество студента, а также курс и факультет, ниже – тема курсовой работы. Ниже, справа, – фамилия, имя, отчество научного руководителя. Внизу – место и год написания курсовой работы 
II. Оглавление (содержание). В нем последовательно излагаются названия пунктов и подпунктов плана курсовой работы. При этом их формулировки должны точно соответствовать содержанию работы, быть краткими, четкими, последовательно и точно отражать ее внутреннюю логику.
Обязательно указываются страницы, с которых начинается каждый пункт или подпункт. 
III. Введение является очень важной частью отчета по курсовой работе, так как представляет собой обоснование причин выбора темы исследования. Объем этой части курсовой работы 2-3 страницы. Во введении приводится обоснование актуальности выбранной темы (ее важность и необходимость), формулируются проблема исследования и пути ее решения (цель, объект, предмет исследования, задачи, методы исследования, база исследования). Во введении также отражается краткая информация о замысле исследования. Здесь не следует увлекаться ссылками на литературу и особенно цитатами.
IV. Основная часть курсовой работы - главы, в которых излагается основное содержание. Содержание глав разделяется на параграфы.
	Первая глава представляет собой анализ изученной литературы и занимает одну вторую от всего объема содержания. В ней рассматриваются теоретические основы проблемы с разных позиций, дается описание истории возникновения проблемы, путей ее решения в прошлом, современное разрешение этого вопроса, критический анализ литературы, показываются позиции автора. Здесь может быть представлен анализ программ, учебников и других учебных и методических пособий по проблеме исследования, анализ статей из периодической печати.
	Вторая глава представляет описание опыта решения проблемы исследования и по объему занимает вторую часть основного объема содержания. В ней приводится описание особенностей процесса организации обучения  по той или иной дисциплине в условиях конкретной школы или нескольких школ, описание основных этапов проведенного психолого-педагогического эксперимента. Раскрывается процессуальная сторона эксперимента; пошагово описываются  действия учителя и учащихся. 
Текст этой главы должен содержать анализ ответов учащихся и учителей на вопросы анкет, тестовых заданий, контрольных работ, изучения школьной документации, проведенных уроков, внеклассных мероприятий. В тексте могут быть графики, диаграммы, таблицы, демонстрирующие описываемые факты и явления.
V. Заключение. В нем содержатся итоги работы, важнейшие выводы, к которым пришел автор; указывается их практическая значимость, возможность внедрения результатов работы и дальнейшие перспективы исследования темы. Заключение занимает 2-3 страницы. 
VI. Список использованной литературы составляется в алфавитном порядке фамилий авторов или названий произведений (при отсутствии фамилии автора). Список оформляется согласно ГОСТам 7.1–2003 или Р. 7.0.5–2008.
В нем должны быть указаны все обязательные компоненты (год, место издания, изд-во, объем). 
	В список включаются только те литературные источники, которые так или иначе упомянуты и использованы автором, независимо от того, где они опубликованы (в отдельном издании, в сборнике, журнале, газете и т.д.). В списке применяется общая нумерация литературных источников. При использовании страниц Internet их перечень дается в конце списка литературы.
VII. Приложения. В том случае, когда объем курсовой работы получается большим, чтобы не перегружать содержание, часть материала помещают в приложения. Обычно приложения оформляются на отдельных листах, причем каждое из них должно иметь свой тематический заголовок и в правом верхнем углу надпись: «Приложение» с указанием его порядкового номера; если приложений несколько, то: «Приложение 1», «Приложение 2» и т.д. Страницы приложений не нумеруются.
	В приложении помещаются анкеты (в том числе и составленные самостоятельно), с помощью которых осуществляется сбор эмпирического материала, работы детей, конспекты уроков или воспитательных мероприятий, протоколы наблюдений, сценарии праздников, детские рисунки, фотографии и т.д. 
	Таким образом, в законченном виде курсовая работа представляет собой письменный документ, который содержит следующие структурные элементы: титульный лист, содержание, введение, главы, заключение, список литературы, приложения. 
	Текст курсовой работы на 3 курсе по объему составляет около 30 – 35 напечатанных на компьютере страниц, на 4 курсе не менее 40 страниц, ВКР – 70-75 страниц. Используется шрифт Таймс–14 с межстрочным интервалом 1,5. Количество строк на каждом листе не должно превышать 30, а в строке помещается до 60 знаков (считая пробелы между словами и знаки препинания). При форматировании страниц следует соблюдать поля: слева – 3 см, справа – 1 см, сверху – 2,5 см, снизу – 2,5 см. Текст печатается с абзацами. Заголовки и подзаголовки отделяются от основного текста сверху и снизу пробелом в три интервала и печатаются строчными буквами. Точки в заголовках не ставятся.
	Желательно, чтобы каждый параграф  начинался  с новой страницы. Текст параграфа не должен заканчиваться таблицей или рисунком. В конце параграфа должен быть вывод, соответствующий содержанию.
	Представленные в тексте таблицы, желательно, размещать на одном листе, без переносов. Таблицы должны иметь сквозную нумерацию. Номер таблицы проставляется вверху справа. Заголовок таблицы помещается с выравниванием по центру.
	Работа должна быть написана логически последовательно, литературным языком. Не следует употреблять как излишне пространных и сложно построенных предложений, так и чрезмерно кратких, лаконичных фраз, слабо между собой связанных, допускающих двойное толкование и т.п.
	Не рекомендуется вести изложение от первого лица единственного числа: «я наблюдал», «я считаю», «по моему мнению» и т.п. Корректнее использовать местоимение «мы», но желательно обойтись и без него. Допускаются обороты с сохранением первого лица множественного числа, в которых исключается местоимение «мы», т.е. фразы строятся с употреблением слов «наблюдаем», «устанавливаем», «имеем». Можно использовать выражения: «на наш взгляд», «по нашему мнению», или выражать ту же мысль в безличной форме: «изучение педагогического опыта свидетельствует о том, что...», «на основе выполненного анализа можно утверждать...», «проведенное исследование подтвердило...» и т.п.
В курсовой работе должно быть соблюдено единство стиля изложения, обеспечена орфографическая, синтаксическая и стилистическая грамотность в соответствии с нормами современного русского языка. Еще раз напомним о необходимости однозначной трактовки ключевых для данной работы понятий.
	Все цитируемые отрывки из использованной литературы должны быть обязательно заключены в кавычки и снабжены сносками на источник.
Рекомендуемая последовательность работы над курсовой работой
	Существующая практика написания курсовых работ предполагает следующую этапность: выбор темы, изучение литературы по проблеме, постановку задач, составление ориентировочного плана работы, определение методов исследования, сбор материала, анализ и обобщение полученных данных. При выполнении курсовых работ должно быть описание следующих положений:
•	Актуальность темы исследования.
•	Краткий обзор психолого-педагогической и методической литературы по теме.
•	Использование комплекса методов исследования.
•	Изучение теории вопроса, изложение теории в главах или основных разделах.
•	Изучение и обобщение передового педагогического опыта.
•	Обоснование собственной точки зрения относительно рассматриваемых вопросов.
•	Отчет и консультирование с научным руководителем.
•	Четкость, новизна и обоснованность выводов.
•	Соответствующее оформление работы.
•	Подготовка доклада для защиты.
•	Защита основных идей исследования.
Рекомендации к написанию курсовой работы
	Работу следует начинать с подбора литературы по теме исследования.
Выделяются три источника библиографической информации:
• первичные (статьи, диссертации, монографии и т.д.);
• вторичные (библиография, реферативные журналы, сигнальная информация и т.д.);
• третичные (обзоры, компилятивные работы, справочные книги и т.д.).
	Необходимо различать библиографическую информацию (где, в каких источниках содержатся нужные сведения) и собственно научную – о самом содержании уже известных знаний.
	При написании курсовой работы следует просмотреть журналы: «Педагогика», «Народное образование», «Воспитание школьников», «Мир образования», «Магистр», «Классный руководитель», «Духовно-нравственное воспитание» и другие общепедагогические журналы, а также методические журналы имеющие отношение к специальности: «Начальная школа плюс до и после», «Начальная школа», «Математика в школе» и другие. 
	Тематические указатели статей за год печатаются в последних номерах журналов. Полезно также ознакомиться с обзорами литературы по определенным темам.
	В результате сбора информации по теме исследования должны быть получены следующие сведения:
• кто и где (какие исследователи и в каких научных центрах) уже работал и работает по теме исследования?
• где опубликованы результаты этой работы (в каких источниках)?
• в чем конкретно состоят результаты исследований учёных и учителей-практиков?
	Вся добытая информация фиксируется в виде записей разного рода. По аналогии с существующей в информатике классификацией научной информации (первичная, вторичная, третичная), материалы, которые собирает и обрабатывает студент в процессе информационного поиска, также будут соответствовать им. При оформлении исходных данных источника указываются фамилия и инициалы автора, название работы, место и год издания, общее количество страниц. 
	Перед составлением и по ходу составления обзора необходимо определить основные понятия по теме исследования, чтобы использование их было однозначным. Это означает, что то или иное понятие, которое в педагогике и дидактике разными авторами может трактоваться по-разному (например, воспитание в «широком» и «узком» смыслах) должно во всем тексте курсовой работы, от начала до конца, иметь лишь одно, четко определенное автором значение. Работе по определению ключевых понятий исследования помогает поиск их толкований в следующих источниках:
• энциклопедии: общие (БСЭ, МСЭ и др.) и специальные (например, педагогическая, психологическая, философская и др.);
• толковые словари: общие (С. Ожегова, В. Даля и др.) и специальные (например, педагогический, психологический, социологический);
• оглавления и предметные указатели основных учебников и монографий по теме исследования.
	В настоящее время широко применяются электронные сетевые справочные издания.
	Найденные определения понятий фиксируются на отдельных карточках и подвергаются мыслительной обработке с помощью операций анализа, сравнения, классификации, обобщения и др.
	Для упорядочения работы предлагается результаты проведенного поиска и обработки представить в виде совокупности следующих записей. 
	Для написания обзора по теме исследования необходимо использовать не менее 25 источников, обязательно должны присутствовать источники, изданные за последние 5 лет.
	При оценке курсового сочинения большое значение придается тому, как автор обосновал во Введении проблему, актуальность своей работы, определил предмет и объект исследования, цель, задачи, сформулировал гипотезу. 
	Все характеристики взаимосвязаны, они дополняют и корректируют друг друга. Проблема находит отражение в теме исследования, которая должна так или иначе отражать движение от достигнутого наукой, от привычного к новому, содержать момент столкновения старого с новым. В свою очередь, выдвижение проблемы и формулировка темы предполагают определение и обоснование актуальности исследования
	Актуальность. В настоящее время актуальными в методиках преподавания учебных предметов в начальной школе являются исследования по проблемам совершенствования содержания начального образования, повышения эффективности учебно-воспитательного процесса, усиления воспитывающего и развивающего характера обучения, разработка диагностических методик. Для обоснования актуальности темы можно обратиться к следующей схеме:
Обоснование актуальности
направления	Обоснование практической актуальности темы исследования	Обоснование научной актуальности темы

	Оценка результатов педагогического процесса	Оценка качества педагогического процесса	
	
Показать значимость выделенной проблемы и необходимость ее разрешения
	Показать недостатки в уровне обученности и воспитанности учащихся, которые следует устранить
	Показать недостатки в воспитательном процессе, которые ведут к указанным недостаткам в уровне обученности и воспитанности учащихся	Показать степень разработанности выделенной проблемы в теории, указать на недостаточно изученные аспекты
	
	Желательно, чтобы во введении нашли свое отражение первые три раздела. Четвертый раздел найдет свое отражение в содержательном обзоре теоретических источников по теме исследования 
	Гипотеза (от греческого «hypothesis» - основание, предположение) есть предположительное суждение о закономерной (причинной) связи явлений, выдвигаемое для объяснения каких-либо явлений. Формулировка гипотезы представляет собой предполагаемые пути (условия) решения проблемы. Она формулируется в начале курсового исследования, но по ходу его она уточняется, видоизменяется. 
	Из гипотезы выводятся цель и задачи практической части курсового исследования.
	Цель исследования в курсовой работе предполагает выявление причинно-следственных связей и закономерностей в педагогических явлениях и разработку их практического решения.
	Задачи исследования (от общего понятия задачи как конкретной локальной цели, заданной в определенных условиях и требующей для своего достижения адекватных этим условиям средств) представляют конкретизацию цели педагогического исследования. В педагогическом исследовании ставятся несколько задач, последовательное выполнение которых образует программу действий исследователя. Формулировка задач исследования обычно записывается в форме перечислений (изучить ..., описать ..., выявить ..., разработать..., определить ..., провести апробацию..., проанализировать ... и т. д.).
	Совокупность приемов и способов познания объективных закономерностей обучения какому-либо предмету называют методами педагогического исследования. По уровню проникновения в сущность проблемы выделяют методы эмпирического и теоретического исследования. Теоретические методы направлены на раскрытие внутренней структуры изучаемого предмета, механизмов его развития и функционирования - это теоретический анализ и синтез, абстрагирование, конкретизация и идеализация, аналогия, сравнение, классификация, обобщение. К эмпирическим методам, способам выявления и обобщения фактов непосредственно в практике, относят: наблюдения, беседы, изучение литературы и других источников, педагогический опыт, эксперимент и др. 
	Для того, чтобы проверить, правильно ли определены основные характеристики педагогического исследования, постарайтесь ответить на следующие вопросы:
Проблема	Что надо изучить из того, что ранее не было изучено?	
Тема	Как это назвать?	
Актуальность	Почему данную проблему нужно в настоящее время изучать?	
Объект исследования	Какой процесс рассматривается?	
Предмет исследования	Как рассматривается объект, какие новые отношения, свойства, аспекты, функции раскрывает данное исследование? (Чаще всего совпадает с темой)	
Цель исследования	Какой результат исследователь намерен получить, каким он его видит?	
Задачи исследования	Что нужно сделать, чтобы цель была достигнута? (Задачи формулируются к каждому параграфу)	
Гипотеза исследования	 Что не очевидно в объекте, но может быть выяснено в ходе исследования при соблюдении определенных условий? (Формулируется только тогда, когда в работе есть эксперимент)	
Защищаемые положения	Что исследователь видит в объекте такого, чего не замечают другие?	
Написание заключения
Следует помнить, что в заключении содержатся итоги работы, важнейшие выводы, к которым пришел автор; указываются их практическая значимость, возможность внедрения результатов работы и дальнейшие перспективы исследования темы. Важнейшее требование к заключению - его краткость и обстоятельность; в нем не следует повторять содержания введения и основной части работы. В целом заключение должно давать ответ на следующие вопросы:
•	Зачем предпринято студентом данное исследование?
•	Что сделано?
•	К каким выводам пришел автор?

Общие положения
	Руководство курсовыми работами осуществляют преподаватели кафедры.
	Курсовую работу студент выполняет самостоятельно, пользуясь консультациями руководителя и отчитываясь перед ним по мере выполнения отдельных частей и работы в целом.
Руководитель курсовой работы:
• помогает студенту определить круг вопросов по изучению избранной темы и методы исследования, наметить план подготовки и план изложения курсовой работы;
• консультирует студента в ходе курсовой работы, осуществляет систематический контроль, проводит поэтапную аттестацию (не менее двух раз в семестр) и информирует об этом кафедру;
• проверяет и рецензирует курсовую работу.
	Курсовая работа подлежит публичной защите. Студенты объединяются в группы по сходной тематике. Автор работы выступает с коротким сообщением (до 10 мин.) и отвечает на вопросы преподавателей и студентов. 	Сообщение включает очерк состояния проблемы, результаты опытно-экспериментальной работы (если она проводилась), выводы и предложения, перспективы исследования. Выступление должно сопровождаться мультимедиа презентацией.
	В итоговой оценке руководитель курсовой работы учитывает не только окончательный результат, но и степень самостоятельности студента, что отмечается в рецензии.
	По итогам защиты за курсовую работу выставляется дифференцированная оценка в зачетную книжку студента и зачетную ведомость.

Оценка курсовой ра6оты
Курсовая работа оценивается два этапа. На первом из них рецензент ставит ориентировочную оценку и дает заключение о допуске или не допуске курсовой работы к защите.
Примерные требования к оценке курсовых работ.
	Оценка «отлично» ставится в том случае, если в курсовой работе: получили отражение все вопросы примерного содержания темы; описана исследовательская работа; соблюдены: все требования, предъявляемые к оформлению; материал изложен четко, логично, грамотно; использована литература, изданная за последние пять лет. 
	Оценка «хорошо» ставится, если: не освещен какой-либо вопрос примерного содержания; имеются недочеты в оформлении. 
	Если в курсовой работе не нашли отражение результаты исследовательской работы, нет четкости в изложении материала, не учтены требования предъявляемые к введению, то работа оценивается на «удовлетворительно»  или «неудовлетворительно», в зависимости от количества и серьезности допущенных недочетов.
	При подготовке ко второму этапу оценки курсовой работы - к ее защите рекомендуется учесть замечания рецензента по доработке.
	На защите студент выступает с соо6щепием, в котором дается краткая характеристика задач курсовой работы, ее содержания, объекта, предмета и методов исследования, описываются полученные результаты, раскрываются возможности их практического использования в школе. После выступления он отвечает на вопросы и замечания рецензента и членов комиссии.
	Заключительная оценка складывается из оценок рецензента и комиссии, оценивающей курсовую работу и выступление студента на защите.
Примерные темы курсовых работ по курсу «Теоретические основы и технологии начального математического образования» для 3 курса.
1.	Развитие пространственных представлений младших школьников в процессе изучения элементов геометрии.
2.	Развитие исследовательской активности младших школьников в процессе обучения математике.
3.	Формирование приемов мыслительной деятельности в процессе обучения математике.
4.	Развитие исследовательских умений младших школьников в процессе обучения математике.
5.	Развитие общеучебных умений в процессе обучения математике.
6.	Развитие вариативности мышления младших школьников в процессе обучения математике.
7.	Формирование у младших школьников нравственных качеств личности в процессе обучения математике.
8.	Влияние стиля педагогического общения на эффективность обучения математике.
9.	Развитие коммуникативных качеств младших школьников в процессе обучения математике. 
10.	Дифференцированный подход в работе с обучающимися в процессе изучения математики в начальных классах.
11.	Особенности математического развития младших школьников.
Примерные темы курсовых работ по курсу «Теоретические основы и технологии начального математического образования» для 4 курса.
1.	Преемственность в обучении математике в начальных классах и в среднем звене школы (на примере конкретной темы).
2.	Функции задач в обучении математике как средство развития личности младших школьников.
3.	Формирование универсальных учебных действий при обучении решению задач в начальной школе.
4.	Моделирование как универсальное учебное действие при изучении математики в начальной школе.
5.	Способы создания проблемных ситуаций при формировании математических понятий в начальной школе.
6.	Развитие универсальных учебных действий младших школьников в процессе решения логических задач.
7.	Формы и методы проверки знаний умений и навыков младших школьников при изучении арифметических действий.
8.	Использование комбинаторных задач как средство развития мышления младших школьников.
9.	Использование элементов истории в процессе обучения математике в начальной школе.
10.	Информационные коммуникационные технологии как средство обучения решению задач по математике в начальной школе.
11.	Использование графического моделирования как средство формирования у младших школьников вычислительных навыков.

Использованная литература
1.	Борисова, Н.В. От традиционного через модульное к дистанционному образованию: Учебное пособие / Н.В. Борисова. - Москва: Домодедово, ВИПК МВД России, 1999. - 174 с.
2.	Жукова, Е.В. Теория и методика развития математических представлений у детей дошкольного возраста: практикум /Е.В. Жукова. – Чита: Забайкал. гос. гум.-пед. ун-т, 2010. – 148 с.
3.	Зимняя, И.А. Ключевые компетенции – новая парадигма результата образования / И.А. Зимняя // Высшее образование сегодня. - 2003. - № 5. – С. 34–42.
4.	Кухманалина, Ш.Х. Методологические основы проектирования содержания начального образования в 12-летней школе /Ш. Х. Курманалина //12-летнее образование. - 2006. - №5. - С. 38-41.
5.	Лысикова, Т.С. Духовно-нравственное воспитание младших школьников средствами математики /Т.С. Лысикова //Духовно-нравственное развитие и воспитание младших школьников: современные реалии и перспективы: сб. материалов междунар. науч.-практ. конф., 17-18 апреля 2014г. /под ред. А.В. Курганской, И.А. Шкабуры. – Чита: ЗабГУ, 2014. – 316 с.
6.	Лысикова, Т.С. Использование нестандартных задач в обучении младших школьников математике /Т.С. Лысикова //Новые технологии в образовании: Сборник научных трудов/ Под науч. ред. д.п.н., проф. И.А. Рудаковой. – Москва: Издательство «Спутник+», 2014. – 420 с.
7.	Лысикова, Т.С. Подготовка бакалавра педагогики к профессиональной деятельности в процессе изучения курса «Теоретические основы и технологии начального математического образования» /Т.С. Лысикова //Современный учитель: личность и профессиональная деятельность: Сборник научных трудов /Под науч. Ред. Проф. Г.Ф. Гребенщикова. – Москва: Издательство «Спутник+», 2010. – 115 с.
8.	Методика преподавания математики в начальной школе: практикум /Сост. Амельченко Т.В., Базарова Ц.Б., Шишкина Н.М. - Чита: Изд-во ЗабГГПУ, 2000. – 50 с. 
9.	Методика преподавания математики в начальных классах: учебно-методическое пособие для студентов дневного отделения. В 2 ч. Ч.1 / Сост.: Л.А. Каирова, Ю.С. Заяц. - 2-е изд., доп. и перераб. – Барнаул: АлтГПА, 2011. – 82 с.
10.	Методика преподавания математики в начальных классах: учебно-методическое пособие для студентов дневного отделения. В 2 ч. Ч.2 / Сост.: Л.А. Каирова, Ю.С. Заяц. - 2-е изд., доп. и перераб. – Барнаул: АлтГПА, 2011. – 111 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ 
Приложение 1
Примерная технологическая карта урока.
 Класс: 
Образовательная программа, автор УМК:
Предмет: 
Тема урока: 
Место и роль урока в изучаемой теме (тип урока): 
Цель урока:
Задачи:
Образовательные задачи: 
Воспитательные задачи: 
Развивающие задачи: 
Образовательное пространство урока:
- дидактические средства: 
- презентационные средства: 
- аудио-материал: 
Оснащение урока:
Тип урока: 
Формы работы: 
Предполагаемый  результат:
Знать:
Уметь:
Педагогические технологии:
План урока (вариант 1)
1.	Организационный момент – 5 минут
2.	Основная часть – 35 минут
1)	Проверка домашнего задания – 10 минут
2)	Физкультминутка – 3 минуты
3)	Знакомство с новым материалом – 15 минут
4)	Закрепление пройденного материала – 7 минут
3.	Заключительная часть – 5 минут
План урока (вариант 2)
1.	Организация внимания. Психологический настрой – 2 мин.
2.	Постановка учебной проблемы – 3 мин.
3.	Актуализация знаний - 15 мин.
1)	Осмысление изученного материала – 7 мин.
2)	Открытие новых знаний – 5 мин.
3)	Физминутка – 3 мин.
4.	Закрепление новых знаний – 10 мин.
5.	Самостоятельная работа – 10 мин.
6.	Итог урока – 5 мин.
Общий вид карты урока, реализующего системно-деятельностный подход и формирование УУД.
Разработчики: Копотева Г.Л., Логвинова И.М.
Ход урока
Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	
Задания базового уровня
	Задание повышенного уровня

	Подробно расписывается вся работа на уроке, указываются страницы учебника с заданиями, записываются фамилии обучающихся, с которыми проводится групповая и индивидуальная работа.	Познава-тельная	Коммуника-тивная	Регулятивная	Личностная	
			Осуществляемые действия	Формируемы способы деятельности	Осуществляемые действия	Формируемы способы деятельности	Осуществляемые действия	Формируемы способы деятельности	Осуществляемые действия	Формируемы способы деятельности	
	Как известно, самый распространённый тип урока – комбинированный. Рассмотрим его с позиции основных дидактических требований, деятельности субъектов обучения, основных универсальных учебных действий и организации обучения.
Требования к уроку	Деятельность учителя и обучающихся	Формируемые универсальные учебные действия	Методы, приёмы, средства обучения; формы организации деятельности учащихся; педагогические технологии	
Объявление темы урока	Формулируют сами учащиеся (учитель подводит учащихся к осознанию темы).	Познавательные общеучебные, коммуникативные	Ведение проблемного диалога (автор технологии Е.Л.Мельникова)	
Сообщение целей и задач	Формулируют сами учащиеся, определив границы знания и незнания (учитель подводит учащихся к осознанию целей и задач).	Регулятивные целеполагания, коммуникативные	Ведение проблемного диалога (автор технологии Е.Л.Мельникова)	
Планирование	Планирование учащимися способов достижения намеченной цели (учитель помогает, советует).	Регулятивные планирования	Работа с картой урока, с интерактивным плакатом (например, в программе Power Point)	
Практическая деятельность учащихся	Учащиеся осуществляют учебные действия по намеченному плану (применяется групповой, индивидуальный методы), учитель консультирует.	Познавательные, регулятивные, коммуникативные	Групповая, парная, индивидуальная формы организации деятельности учащихся.
Работа по решению проектных задач.
Проведение ролевых игр.
Работа с учебником (учёт вариативной и инвариантной части).
Применение словарей, справочников, ИКТ – технологий.	
Осуществление контроля	Учащиеся осуществляют контроль (применяются формы самоконтроля, взаимоконтроля), учитель консультирует.	Регулятивные контроля (самоконтроля), коммуникативные	Применение методики безотметочного обучения (автор Г.А.Цукерман)
Работа по само- и взаимоконтролю устных и письменных ответов (по заранее определённым критериям, образцам).	
Осуществление коррекции	Учащиеся формулируют затруднения и осуществляют коррекцию самостоятельно, учитель консультирует, советует, помогает.	Коммуникативные регулятивные коррекции	Использование памяток.
Организация взаимопомощи.	
Оценивание учащихся	Учащиеся дают оценку деятельности по её результатам (самооценка, оценивание результатов деятельности товарищей), учитель консультирует.	Регулятивные оценивания (самооценивания), коммуникативные	Применение методики безотметочного обучения (автор Г.А. Цукерман)
Работа по само- и взаимооцениванию устных и письменных ответов (по заранее определённым критериям).	
Итог урока	Проводится рефлексия.	Регулятивные саморегуляции, коммуникативные	Проведение рефлексии с применением: вопросов, символов – кружков в листах обратной связи, смайликов, приёма «ладошка»
	
Домашнее задание	Учащиеся могут выбирать задание из предложенных учителем с учётом индивидуальных возможностей.	Познавательные, регулятивные, коммуникативные	Дифференциация заданий.
Применение творческих заданий, практико-значимых заданий.	
	Данная таблица позволяет сделать вывод: ребенок главный деятель на уроке, только при соблюдении этого условия обучающиеся овладеют умением учиться. «Нужно, чтобы дети, по возможности, учились самостоятельно, а учитель руководил этим самостоятельным процессом и давал для него материал» - слова К.Д. Ушинского отражают суть урока современного типа, в основе которого заложен принцип системно-деятельностного подхода. Учитель призван осуществлять скрытое управление процессом обучения, быть вдохновителем учащихся. Актуальность приобретают слова Уильяма Уорда: «Посредственный учитель излагает. Хороший учитель объясняет. Выдающийся учитель показывает. Великий учитель вдохновляет».

Приложение 2
Пример аннотированного списка статей по теме занятия
Теоретическая консультация
	Аннотация (иначе — резюме) — это обобщенное, краткое описание какого-либо источника (статьи, журнала, книги и т.д.), его краткая характеристика. Цель аннотации — дать четкие выходные данные источника, кратко указать на достоинства и особенности рассматриваемого предмета. Благодаря аннотации человек, который впервые видит книгу или статью, может сразу понять, о чем она.
	Аннотация по своему объему мала, состоит из двух частей. Первая служит для формулирования темы источника; вторая перечисляет особенности и основные положения. В аннотации используются устойчивые обороты научного характера, клише, часто встречаются пассивные конструкции.
Пример аннотации
Кравченко Н.В. Особенности изучения табличного умножения и деления в различных программах обучения математике/Н.В, Кравченко// Начальная школа. – 2009. - № 3. – С. 17-22.
	В статье представлена историческая справка развития методики обучения умножению по таблицам, начиная с III века до н.э. Рассмотрены современные подходы к изучению таблицы умножения и деления в начальных классах. Автором проанализированы современные образовательные программы и учебники по математике для начальных классов, приведены примеры приемов запоминания таблицы умножения и деления, характерные для различных образовательных программ.

Приложение 3
Примеры оформления статьи в терминологическом словаре
Пример № 1
Задача – 1.	 То, что требует исполнения, разрешения;
2.	Упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления;
3.	Сложный вопрос, проблема, требующие исследования и разрешения (Ожегов, С.И., Шведов, Н.Ю. Толковый словарь русского языка. – Москва: Азбуковик, 1999. – 944с.).
Пример № 2
	Под текстовыми арифметическими задачами подразумевают задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий (Методика начального обучения математике /Под общей ред. А.А. Столяра, В.Л. Дрозда. – Минск: Вышэйшая школа, 1988. – 249 с.)
Пример № 3
	В учебнике Истоминой Н.Б. «Методика обучения математики в начальной школе» (2005г.) говорится о том, что понятие «задача» обычно используется, когда речь идет об арифметических задачах. Они формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Поэтому их называют текстовыми, сюжетными, вычислительными.
Пример № 4
	Для текстовой арифметической задачи различные авторы предлагают следующие определения.
1. Арифметической задачей называют требование найти числовое значение некоторой величины, если даны числовые значения других величин и существует зависимость, которая связывает эти величины, как между собой, так и с искомой (Богданович М.В.).
2. В окружающей нас жизни возникает множество таких ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними, – это задачи (Бантова М.А.).
3. Задача – это сформулированный словами вопрос, ответ на который может быть получен с помощью арифметических действий (Моро М.И., Пышкало А.М.).
4. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого отношения (Стойлова Л.П., Пышкало А.М.).
5. Любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в ней (Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.).
Использованная литература: Овчинникова, М.В. Методика работы над текстовыми задачами в начальных классах (общие вопросы): Учебно-методическое пособие для студентов специальностей «Начальное обучение. Дошкольное воспитание»/М.В. Овчинникова. – Киев: Пед. пресса, 2001. – 128с. URL: http://www.pedlib.ru/Books/ (дата обращения: 15.05.2014).